Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2a, AC = 2a. Hình chiếu của SS lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB. Cạnh bên SC hợp với đáy (ABC) một góc 45o. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có d(A,(SBC)) = 2d(H,(SBC)).
Trong mặt phẳng (ABC), kẻ HM⊥BC. Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK⊥SM(1).
\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot SH\\ BC \bot HM \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SHM) \Rightarrow BC \bot HK(2).\)
Từ (1),(2) ta có HK⊥(SBC).
Ta có tam giác HBM đồng dạng với tam giác CBA nên:
\(\frac{{HB}}{{CB}} = \frac{{HM}}{{CA}} \Rightarrow HM = \frac{{HB.CA}}{{CB}} = \frac{{a.2a}}{{2\sqrt 2 a}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\)
Xét tam giác vuông AHC, có \(HC = \sqrt {H{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = \sqrt 5 a.\)
Ta có \(\widehat {SCH} = {30^o}\left( {gt} \right)\). Xét tam giác vuông SHC có \(SH = HC.\tan {45^0} = \sqrt 5 a.\)
Xét tam giác vuông SHM có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{5{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{11}}{{5{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 5 a}}{{\sqrt {11} }}.\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 5 a}}{{\sqrt {11} }}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:
-
Tính thể tích V của khối trụ có chu vi đáy là \(2\pi \) chiều cao là \(\sqrt 2 \)
-
Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn được gọi là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =3, AD = 4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy là \(45^0\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
-
Trong không gian Oxyz tập hợp các điểm M(a;b;c) sao cho \(a^2 + b^2 \le 2, ,| c | \le 8 \) là một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó?
-
Một chiếc hộp hình lập phương cạnh a bị khoét một khoảng trống có dạng là một khối lăng trụ với hai đáy là hai đường tròn nội tiếp của hai mặt đối diện của hình hộp. Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt của chiếc hộp lại như cũ, chỉ chừa lại khoảng trống bên trong. Tính thể tích của khoảng trống tạo bởi khối trụ này.
-
Cho góc ở đỉnh của một hình nón bằng 60o . Gọi \(r, h, l \) lần lượt là bán kính, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho khối trụ có bán kính đáy r =4 và chiều cao h = 2 . Tính thể tích khối trụ đó.
-
Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật (ABCD ) quanh cạnh (AB ), biết (AB = 5 ), (BC = 2 ).
-
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng (a. ) Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
-
Nếu cắt mặt trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục ta được là:
-
Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính bằng 3 và chiều cao bằng 4.
-
Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là a. Quay tam giác ABC quanh trục AB thì đoạn gấp khúc ACB tạo thành hình nón (N). Diện tích xung quanh của hình nón (N) là:
-
Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 12π, đường cao của hình trụ là 1. Diện tích xung quanh của hình trụ là:
-
Tính diện tích toàn phần S của mặt nón (N) biết thiết diện qua trục của nó là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(2\sqrt 2a\)
-
Hình nón (N) có đường sinh gấp hai lần bán kính đáy. Góc ở đỉnh của hình nón là:
-
Một hình nón có bán kính đáy bằng R, đường cao \(\frac{{4R}}{3}\). Khi đó, góc ở đỉnh của hình nón là 2α. Khi đó khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
-
Quay tam giác (ABC ) vuông tại (A ) quanh trục (AB ) ta được:
-
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D có đáy ABCD là hình thang, AB = AD = a, CD = 2a. Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60o. Biết hình lăng trụ nội tiếp một hình trụ. Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ theo a ta được:
-
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên \(SA = a\sqrt 3 \)
