Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} \) , nếu đặt x = 2sin t - 1, với \( 0 \le t \le \frac{\pi }{2}\)thì \( \int {f(x)dx} \) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\( f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} = \sqrt {4 - \left( {1 + 2x + {x^2}} \right)} = \sqrt {4 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} .\)
Đặt
\(\begin{array}{l} x + 1 = 2\sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = 2\cos t{\mkern 1mu} {\rm{d}}t\\ 4 - {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 - 4{\sin ^2}t = 4{\cos ^2}t \end{array}\)
Do \( 0 \le t \le \frac{\pi }{2} \to \cos t \ge 0\)
Khi đó \( \smallint f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \smallint \sqrt {4{{\cos }^2}t} .2\cos t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{d}}t = 4\smallint {\cos ^2}t{\mkern 1mu} {\rm{d}}t = 2\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t\)
