Cho F( x ) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)= x\sqrt {{x^2} - m} \). Số giá trị của tham số m để \( F\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{7}{3};F\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{14}}{3}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \( F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right)dx = \smallint x\sqrt {{x^2} - m} dx\)
Đặt \(\begin{array}{l} t = \sqrt {{x^2} - m} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - m \Leftrightarrow tdt = xdx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint t.tdt = \smallint {t^2}dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - m} } \right)}^3}}}{3} + C \end{array}\)
Theo bài ra ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} F\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{7}{3}\\ F\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{14}}{3} \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} = \frac{7}{3}\\ {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} = 7 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} = \frac{7}{3}\\ {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7 = 0(*) \end{array} \right.\)
Xét hàm số
\( f\left( m \right) = {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7\) với m≤2
Ta có
\( f'\left( m \right) = - \frac{3}{2}\sqrt {5 - m} + \frac{3}{2}\sqrt {2 - m} = \frac{3}{2}\left( {\sqrt {2 - m} - \sqrt {5 - m} } \right)\)
Vì
\( 2 - m < 5 - m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \le 2 \Rightarrow \sqrt {2 - m} < \sqrt {5 - m} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \le 2\) , do đó \( f'\left( m \right) < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \le 2\)
Suy ra hàm số f(m) nghịch biến trên (−∞;2]
Khi đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm, mà f(1)=0 nên m=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Vậy có 1 giá trị của mm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
