Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k=\frac{1}{2}\) và phép quay tâm O góc 900 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường tròn (C) có tâm \(I\left( 2;2 \right)\) bán kính R = 2.
Phép vị tự tâm O tỉ số \(k=\frac{1}{2}\) biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) có tâm \(I'={{V}_{\left( O;\frac{1}{2} \right)}}\left( I \right)\) và \(R'=\left| k \right|R=\frac{1}{2}.2=1.\)
Gọi \(I'\left( x;y \right)={{V}_{\left( O;\frac{1}{2} \right)}}\left( I \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OI'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\frac{1}{2}\left( 2;2 \right)\Rightarrow I'\left( 1;1 \right).\)
Vậy đường tròn (C’) là \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\)
Phép quay tâm O góc \({{90}^{0}}\) biến đường tròn (C’) thành đường tròn (C”) có tâm \(I''={{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}\left( I' \right)\) và bán kính R’’ = R’ = 1.
Gọi \(I''\left( {x',y'} \right) = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( {I'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI'{'^2} = OI{'^2}\\\overrightarrow {OI''} .\overrightarrow {OI'} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {1^2} + {1^2}\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\2{y^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right..\) Mà góc quay là góc \({{90}^{0}}\), quay ngược chiều kim đồng hồ nên \(I''\left( -1;1 \right)\)
Vậy đường tròn ảnh có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k=\frac{1}{2}\) và phép quay tâm O góc 900 là \(\left( C'' \right):\,\,{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1.\)
Chọn D.
