Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)?

Giả sử \(\frac{{\sin \alpha }}{6}\), \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \) theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính \(\cos 2\alpha \).

Cho hình vuông (C₁) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (C₂) (Hình vẽ).

Từ hình vuông (C₂) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông (C1), (C₂), (C3),., (Cn)... Gọi S_i là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\left( {i \in \left\{ {1,2,3,.....} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ...{S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính a?

Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là

Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) thỏa mãn a₁ = 1 và \({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1\), \(\forall n \ge 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của n để \(\log {a_n} > 100\).

Cho dãy \(\left( {{u_n}} \right):{u_1} = {{\rm{e}}^3},{u_{n + 1}} = u_n^2,k \in {N^*}\) thỏa mãn \({u_1}.{u_2}...{u_k} = {{\rm{e}}^{765}}\). Giá trị của k là:

Cho dãy số (u_n) xác định bởi \({u_1} = - \frac{{41}}{{20}}\) và \({u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.

Cho dãy số (u_n) bởi công thức truy hồi sau \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 0{\rm{ }}}\\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + n;{\rm{ }}n \ge 1} \end{array}} \right.\); u₂₁₈ nhận giá trị nào sau đây?

Cho a < b < c là ba số nguyên. Biết a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a, c, b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.

Cho cấp số cộng (u_n) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l} {u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\ {u_4} + {u_6} = 26 \end{array} \right.\). Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\)

Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Cho cấp số cộng (u_n) có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{1009}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \log _3^2{u_2} + \log _3^2{u_5} + \log _3^2{u_{14}}\) bằng

Trong hội chợ tết, một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1, 3, 5, ... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20m và 25m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn \({u_1} = \sqrt 2 \) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \) với mọi \(n \ge 1\). Tìm u₂₀₁₈.

Xét các số thực dương a, b sao cho -25, 2a, 3b là cấp số cộng và 2, a + 2, b - 3 là cấp số nhân. Khi đó \({a^2} + {b^2} - 3ab\) bằng :

Ông Trung vay ngân hàng 800 triệu đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 60 tháng. Lãi suất ngân hàng cố định 0,5%/tháng. Mỗi tháng ông Trung phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 60 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi mà ông Trung phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là bao nhiêu?

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn \({u_n} = {u_{n - 1}} + 6,\forall n \ge 2\) và \({\log _2}{u_5} + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {{u_9} + 8} = 11\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn \({S_n} \ge 20172018\).

Cho dãy số (a_n) xác định bởi \({a_1} = 2,{a_{n + 1}} = - 2{a_n},n \ge 1,n \in N\) . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số.