Cho dãy $\left( {{u_n}} \right):{u_1} = {{\rm{e}}^3},{u_{n + 1}} = u_n^2,k \in {N^*}$ thỏa mãn ${u_1}.{u_2}...{u_k} = {{\rm{e}}^{765}}$. Giá trị của k là:

Cho a < b < c là ba số nguyên. Biết a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a, c, b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.

Cho cấp số cộng (u_n) thỏa $\left\{ \begin{array}{l} {u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\ {u_4} + {u_6} = 26 \end{array} \right.$. Tính $S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}$

Cho cấp số cộng (u_n) có các số hạng đều dương, số hạng đầu u₁ = 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950. Tính giá trị của tổng $S = \frac{1}{{{u_2}\sqrt {{u_1}} + {u_1}\sqrt {{u_2}} }} + \frac{1}{{{u_3}\sqrt {{u_2}} + {u_2}\sqrt {{u_3}} }} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}}\sqrt {{u_{2017}}} + {u_{2017}}\sqrt {{u_{2018}}} }}$

Giả sử $\frac{{\sin \alpha }}{6}$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính $\cos 2\alpha$.

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...$ sao cho ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n \ge 2$, tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung bình của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$. Tính tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$?

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ {u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + \sqrt 2 - 1}}{{1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right){u_n}}} \end{array} \right.$, $\forall n \in {N^*}$. Tính ${u_{2018}}$.

Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20m và 25m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?

Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\ln \left( {u_1^2 + u_2^2 + 10} \right) = \ln \left( {2{u_1} + 6{u_2}} \right)$ và ${u_{n + 2}} + {u_n} = 2{u_{n + 1}} + 1$ với mọi $n \ge 1.$ Giá trị nhỏ nhất của n để u_n > 5050 bằng bao nhiêu?

Xét các số thực dương a, b sao cho -25, 2a, 3b là cấp số cộng và 2, a + 2, b - 3 là cấp số nhân. Khi đó ${a^2} + {b^2} - 3ab$ bằng :

Trong hội chợ tết, một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1, 3, 5, ... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa?

Cho dãy số (u_n) bởi công thức truy hồi sau $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 0{\rm{ }}}\\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + n;{\rm{ }}n \ge 1} \end{array}} \right.$; u₂₁₈ nhận giá trị nào sau đây?

Trong dịp hội trại hè 2020, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:

Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi: ${u_1} = \frac{1}{3}$ và ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n}$. Tổng $S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}}$ bằng

Cho hình vuông (C₁) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (C₂) (Hình vẽ).

Từ hình vuông (C₂) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông (C1), (C₂), (C3),., (Cn)... Gọi S_i là diện tích của hình vuông ${C_i}\,\left( {i \in \left\{ {1,2,3,.....} \right\}} \right)$. Đặt $T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ...{S_n} + ...$. Biết $T = \frac{{32}}{3}$, tính a?

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn ${u_1} = \sqrt 2$ và ${u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}}$ với mọi $n \ge 1$. Tìm u₂₀₁₈.

Cho cấp số cộng (u_n) biết ${u_5} = 18$ và $4{S_n} = {S_{2n}}$. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.

Cho dãy số (a_n) xác định bởi ${a_1} = 2,{a_{n + 1}} = - 2{a_n},n \ge 1,n \in N$ . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số.

Cho dãy số (u_n) có ${u_1} = \frac{1}{5}$ và ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{5n}}{u_n}$, $\forall n \ge 1$. Tìm tất cả giá trị n để $S = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{u_k}}}{k} < \frac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}}}$