Một hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, chiều cao bằng đường kính một hình cầu. Diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao hình nón.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi h là chiều cao hình nón (h > 0). Đường sinh của hình nón bằng \(l = \sqrt {{h^2} + 4} \)
Diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi 2.\sqrt {{h^2} + 4} + \pi {.2^2} = \pi (2\sqrt {{h^2} + 4} + 4)c{m^2}\)
Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là h/2(cm)
Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l} \pi (2\sqrt {{h^2} + 4} + 4) = \pi {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4} + 4 = {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4} = {h^2} - 4(h > 2)\\ \Rightarrow 4({h^2} + 4) = {h^4} - 8{h^2} + 16\\ \Leftrightarrow {h^4} - 12{h^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {h^2} = 0\\ {h^2} = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} h = 0(L)\\ h = - 2\sqrt 3 (L)\\ h = 2\sqrt 3 (N) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy chiều cao hình nón là \(2\sqrt 3\)cm.
Chọn C
