Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC,AC,AB theo thứ tự ở D, E, F. Tổng \(\frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}}\) bằng tỉ số nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Qua AA kẻ đường thẳng song song với BC, cắt CF, BE lần lượt tại H, K.
AH // BC nên theo định lí Talet ta có:
\(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{AH}}{{BC}}\)
AK // BC nên theo định lí Talet ta có: \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BC}}\)
Suy ra \(\frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AH}}{{BC}} + \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{CB}}hay\frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{HK}}{{CB}}(1)\)
Lại có:
AH // DC nên theo định lí Talet ta có:
\(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AH}}{{DC}}\)
AK // BD nên theo định lí Talet ta có: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AK}}{{BD}}\)
Do đó \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AH}}{{DC}} = \frac{{AK}}{{BD}}(2)\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{{AH}}{{DC}} = \frac{{AK}}{{BD}} = \frac{{AI + AK}}{{DC + BD}} = \frac{{HK}}{{BC}}(3)\)
Từ (2) và (3) suy ra: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{HK}}{{BC}}(4)\)
Từ (1) và (4) suy ra: \(\frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AI}}{{ID}}\)
