Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:
\(\begin{array}{l} + )\;x + \frac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\\ + )\;y + \frac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\frac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\end{array}\)
Chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}}\)
Mà có \(x + y \le \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{11}}{{36}}.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}} \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{11}}{{12}}\).
\( \Rightarrow S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{12}} = \frac{{43}}{{12}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{{9x}}\\y = \frac{4}{{9y}}\\x + y = \frac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\frac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \frac{2}{3}\).
Chọn đáp án A.
Đề thi HK1 môn Toán 9 năm 2022-2023
Trường THCS Tô Vĩnh Diện
Câu hỏi liên quan
-
Hiện nay tại nước Mỹ quy định cầu thang cho người khuyết tật dùng xe lăn có hệ số góc không quá \(\frac{1}{{12}}\). Để phù hợp với tiêu chuẩn ấy thì chiều cao cầu thang tối đa là bao nhiêu khi biết đáy của cầu thang có độ dài là 4m ?
-
Cho biểu thức \(P = \sqrt {\frac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\frac{{2a}}{5}} \) với \(a \ge 0\), kết quả thu gọn của \(P\) là:
-
Tính: \(3\sqrt {80} - 2\sqrt {45} - \sqrt {125} \)
-
Cho hai điểm phân biệt A, B. Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:
-
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với ABBiết AM=4, R=6,5. Giá trị diện tích tam giác BCD là bao nhiêu?
-
Rút gọn biểu thức: \(\sqrt {12} + 3\sqrt {48} - 5\sqrt {75} \)
-
Giải phương trình: \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\)
-
Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} - 3x} - \sqrt {x - 3} = 0\)
-
Giá trị của biểu thức sau là bao nhiêu: \(S=cos^215^{\circ}+cos^225^{\circ}+cos^235^{\circ}+cos^245^{\circ}+cos^255^{\circ}+cos^265^{\circ}+cos^275^{\circ}\)
-
Thwucj hiện phép tính: \(B = \sqrt {{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
-
Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = 1\)
-
Thực hiện phép tính: \(\sqrt {50} - 3\sqrt 8 + \sqrt {32} \)
-
Cho đường tròn (O;R) và 2 dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA=2, IB=4. Khoảng cách từ tâm O tới AB là d và tới CD là d'Giá trị của d và d'
-
Thực hiện phép tính: \(\frac{3}{{\sqrt 7 - 1}} - \frac{{\sqrt 7 - \sqrt {21} }}{{2 - 2\sqrt 3 }}\)
-
Giải phương trình: \(\sqrt {9{x^2}} = 6\)
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết BH=9, CH=7. Độ dài AB và AC lần lượt là
-
Tam giác ABC vuông tại A có AB=AC. Biết đường cao AH=4. Tính AB, AC
-
Cho điểm A(3;4). Khi đó đường tròn (A;R=4) sẽ có dạng như thế nào?
-
Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng là \({23^o}\)so với mặt đất. Hỏi muốn đạt độ cao 250m so với mặt đất thì máy bay phải bay lên một đoạn đường là bao nhiêu mét? (làm tròn đến mét)
-
Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là:
.png)
