Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:
\(\begin{array}{l} + )\;x + \frac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\\ + )\;y + \frac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\frac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\end{array}\)
Chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}}\)
Mà có \(x + y \le \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{11}}{{36}}.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}} \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{11}}{{12}}\).
\( \Rightarrow S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{12}} = \frac{{43}}{{12}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{{9x}}\\y = \frac{4}{{9y}}\\x + y = \frac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\frac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \frac{2}{3}\).
Chọn đáp án A.
Đề thi HK1 môn Toán 9 năm 2022-2023
Trường THCS Tô Vĩnh Diện
Câu hỏi liên quan
-
Tam giác ABC vuông tại A có AB=AC. Biết đường cao AH=4. Tính AB, AC
-
Giải phương trình: \(\sqrt {9{x^2}} = 6\)
-
Một hỗn hợp dung dịch gồm nước và muối trong đó 6% muối (về khối lượng). Hỏi phải thêm bao nhiêu g nước vào 50g dung dịch trên để có được một dung dịch mới có 3% muối.
-
Rút gọn biểu thức: \(\sqrt {12} + 3\sqrt {48} - 5\sqrt {75} \)
-
Thực hiện phép tính: \(\sqrt {50} - 3\sqrt 8 + \sqrt {32} \)
-
Một cửa hàng có hai loại quạt, giá tiền như nhau. Quạt màu xanh được giảm giá hai lần, mỗi lần giảm giá 10% so với giá đang bán. Quạt màu đỏ được giảm giá một lần 20%. Hỏi sau khi giảm giá như trên thì loại quạt nào rẻ hơn.
-
Thực hiện phép tính: \(\frac{3}{{\sqrt 7 - 1}} - \frac{{\sqrt 7 - \sqrt {21} }}{{2 - 2\sqrt 3 }}\)
-
Cho biểu thức \(P = \sqrt {\frac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\frac{{2a}}{5}} \) với \(a \ge 0\), kết quả thu gọn của \(P\) là:
-
Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng là \({23^o}\)so với mặt đất. Hỏi muốn đạt độ cao 250m so với mặt đất thì máy bay phải bay lên một đoạn đường là bao nhiêu mét? (làm tròn đến mét)
-
Cho đường tròn (O;25) và hai dây \(MN\parallel PQ\) có độ dài theo thứ tự là 40 và 48. Khi đó khoảng cách giữa MN và PQ là:
-
Tính: \(3\sqrt {80} - 2\sqrt {45} - \sqrt {125} \)
-
Giải phương trình: \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\)
-
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5, BC=10. Giá trị của sinB và cosB lần lượt
-
Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} - 3x} - \sqrt {x - 3} = 0\)
-
Rút gọn biểu thức: \(5\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{{\sqrt {20} - 5}}{{2 - \sqrt 5 }}\)
-
Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m , người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nắng lần lượt là \({34^o}\) và \({38^o}\).
-
Tính: \(\sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 - 5} \right)}^2}} + \sqrt {24 - 8\sqrt 5 } \)
-
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:
-
Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là:
.png)
-
Cho đường tròn (O;25). Khi đó dây lớn nhất của đường tròn (O;25) có độ dài là
