Biết rằng \(\lim \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + \frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{b} + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\lim \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + \frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}} \right)\\ = \lim \frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}}\\ + \lim \frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}\\ = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}.2 + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}}}{{5.{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n} + \sqrt 5 - {{\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }}} \right)}^n}}}\\ + \lim \frac{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}\\ = \frac{{1 - 2.0 + 0}}{{5.0 + \sqrt 5 - 0}} + \frac{2}{1}\\ = \frac{{\sqrt 5 }}{5} + 2\end{array}\)
\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 5,\,\,c = 2\).
Vậy \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {1^2} + {5^2} + {2^2} = 30.\)
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) là:
-
Hàm số sau \(y = f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}}\) liên tục trên:
-
Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) và đường thẳng \(\Delta \) khác d. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
-
Kết quả của giới hạn sau \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) là:
-
Cho hàm \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\), \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Hãy tính\(f'\left( {{x_0}} \right)\) bằng định nghĩa ta cần tính:
-
Hãy chọn kết quả đúng trong các giới hạn dưới đây:
-
Hãy tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4} + x} \right)\). Kết quả đúng là:
-
Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\) (tham khảo hình vẽ). Tính tổng ba véctơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) ta được
.JPG)
-
Tính đạo hàm của hàm số sau \(y = 2\sin x + 2020.\)
-
Kết quả của giới hạn sau \(\lim \frac{{ - 3{n^2} + 5n + 1}}{{2{n^2} - n + 3}}\) là:
-
Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\)(tham khảo hình vẽ bên) có cạnh bằng 5 cm. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và HF ta được
.JPG)
-
Vi phân của hàm số sau \(y\,\, = \,\cos 2x + \cot x\) là:
-
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy bằng \({60^0}\) cạnh \(AB = 4cm;\,\,BC = 6cm;\,\,CA = 8cm\). Hãy tính độ dài cạnh SA của hình chóp.
-
Đạo hàm của hàm số sau \(y = {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^{2019}}\) là:
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1.\) Hãy tìm \(dy.\)
-
Hãy tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + x - 12}}{{x - 3}}\). Kết quả đúng là:
-
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
-
Đạo hàm của hàm số sau \(y = \cot x\) là hàm số:
-
Trong các giới hạn dãy số dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là:
-
Tìm số gia \(\Delta y\) của hàm số sau \(y = {x^2}\) biết \({x_0} = 3\) và \(\Delta x = - 1.\)
