Biết \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{\tan }^{2}}x+2{{\tan }^{8}}x \right)}dx=\frac{-a}{b}+\frac{\pi }{c}\) với \(a,b,c\in \mathbb{N}\), phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(T=a+b+c\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C.
Đặt \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{\tan }^{2}}x+2{{\tan }^{8}}x \right)}dx\), đổi biến \(\tan x=t\Rightarrow dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx=\left( 1+{{t}^{2}} \right)dx\) \(\Rightarrow dx=\frac{1}{1+{{t}^{2}}}dt\) , đổi cận \(x=0\Rightarrow t=0,\,x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1\) ta được tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{t}^{2}}+2{{t}^{8}} \right)}{{{t}^{2}}+1}dt=}\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{t}^{6}}-2{{t}^{4}}+2{{t}^{2}}-1 \right)dt+\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt}=}\frac{-47}{105}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt}\)(1).
Đặt \(t=\tan u,\,u\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}du=\left( 1+{{\tan }^{2}}u \right)du\) , \(\frac{1}{1+{{t}^{2}}}=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}u}\) , đổi cận \(t=0\Rightarrow u=0;t=1\Rightarrow u=\frac{\pi }{4}\) nên ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{du}=\left. u \right|_{_{_{0}}}^{_{^{^{^{^{\frac{\pi }{4}}}}}}}=\frac{\pi }{4}\), thay vào (1) ta được
\(I=\frac{-47}{105}+\frac{\pi }{4}\) nên \(a=47,\,b=105,\,c=4\Rightarrow a+b+c=156\).
Đề thi HK2 môn Toán 12 năm 2022-2023
Trường THPT Lý Tự Trọng
