Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng \(S\) thì bán kính \(R\) và chiều cao \(h\) của khối trụ có thể tích lớn nhất là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi thể tích khối trụ là \(V\), diện tích toàn phần của hình trụ là \(S\).
Ta có: \(S={{S}_{2day}}+{{S}_{xq}}=2\pi {{R}^{2}}+2\pi Rh\). Từ đó suy ra:
\(\frac{S}{2\pi }={{R}^{2}}+Rh\Leftrightarrow \frac{S}{2\pi }={{R}^{2}}+\frac{V}{\pi R}={{R}^{2}}+\frac{V}{2\pi R}+\frac{V}{2\pi R}\overset{Cauchy}{\mathop \ge }\,3\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}}\)
hay \(27\frac{{{V}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}\le {{\left( \frac{S}{2\pi } \right)}^{3}}\Leftrightarrow V\le \sqrt{\frac{{{S}^{3}}}{54\pi }}\).
Vậy \({{V}_{\max }}=\sqrt{\frac{{{S}^{3}}}{54\pi }}\). Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \) \({{R}^{2}}=\frac{V}{2\pi R}=\frac{\pi {{R}^{2}}h}{2\pi R}=\frac{Rh}{2}\) hay \(h=2R\).
Khi đó \(S=6\pi {{R}^{2}}\Rightarrow R=\sqrt{\frac{S}{6\pi }}\) và \(h=2R=2\sqrt{\frac{S}{6\pi }}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 12π, đường cao của hình trụ là 1. Diện tích xung quanh của hình trụ là:
-
Cho hình trụ (T) có ( C ), (C') ) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn (C) và hình vuông ngoại tiếp của (C) có một hình chữ nhật kích thước 1 x 2 (như hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối trụ (T) là
-
Một hình nón có đường sinh bằng \(l\) và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón bằng:
-
Để làm một thùng phi hình trụ người ta cần hai miếng nhựa hình tròn làm hai đáy có diện tích mỗi hình là 4π(cm2) và một miếng nhựa hình chữ nhật có diện tích là 15π(cm2) để làm thân. Tính chiều cao của thùng phi được làm.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A và AB = SB = a, SB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng SC và AB là
-
Một khối trụ có bán kính đáy bằng r có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
-
Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là
-
Bán kính đáy của khối trụ tròn xoay có thể tích bằng V và chiều cao bằng h là:
-
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục (DF )
-
Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số \(\frac{h}{r} \)
-
Một hình trụ có bán kính đáy r = a, độ dài đường sinh \(l = 2a\). Diện tích toàn phần của hình trụ này là:
-
Cho hình vẽ bên. Tam giác \(SOA\) vuông tại O có \(MN//SO\) với \(M,\,\,N\) lần lượt nằm trên cạnh SA, \(OA.\) Đặt \(SO=h\) không đổi. Khi quay hình vẽ quanh \(SO\) thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm O bán kính \(R=OA\). Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất.
-
Cho một khối chóp có thể tích bằng V. Khi giảm chiều cao của hình chóp xuống 2 lần và tăng diện tích đáy lên 4 lần thì thể tích khối chóp lúc đó bằng
-
Một hình trụ có bán kính đáy r = a, độ dài đường sinh \(l = 2a\). Diện tích toàn phần của hình trụ này là:
-
Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm và bán kính đáy r = 5cm. Khi đó thể tích khối nón là:
-
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A với AC = 3a, AB = 4a. Tính theo a diện tích xung quanh S của hình nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC.
-
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AB = a\sqrt 3 , AC = a\). Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng AB là:
-
Công thức nào sau đây không đúng khi tính diện tích toàn phần hình trụ?
-
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB=5,AC=8\) và góc \(\widehat{\left( AB,AC \right)}={{60}^{0}}.\) Gọi \(V,V'\) lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số \(\frac{V'}{V}?\)
-
Một khối trụ có bán kính đáy bằng (2 ), chiều cao bằng (3 ). Tính thể tích (V ) của khối trụ.
