Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x-2y+2=0 và đường thằng l có phương trình : x - y + 1 = 0. Phép đối xứng trục l biến d thành d’ có phương trình

A. 2x - y - 1 = 0

B. 2x - y + 1 = 0

C. 2x + y + 1 = 0

D. 2x + y - 1 = 0

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 11

Chủ đề: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Bài: Phép đối xứng trục

Lời giải:

Báo sai

Gọi giao điểm của d và l là điểm I. Tọa độ điểm I là nghiệm hệ:

$\{\begin{matrix} x - 2 y + 2 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \end{matrix} \Rightarrow I (0; 1)$

Lấy A(4; 3) thuộc d. Phương trình đường thẳng a qua A và vuông góc với đường thẳng l có vecto chỉ phương là: $\overrightarrow {{u_a}} = \,\,\overrightarrow {{n_l}} = \,\,\left( {1;\,\, - 1} \right)$ nên có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_a}} = \,\,\left( {1;\,\,1} \right)$

Phương trình đường thẳng a: 1( x – 4) + 1.(y – 3) = 0 hay x + y – 7 = 0

Gọi H là giao điểm của a và l. Tọa độ H là nghiệm hệ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - y + 1 = 0}\\
{x + y - 7 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3}\\
{y = 4}
\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow H\left( {3;4} \right)$

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua H. Khi đó, H là trung điểm của AA’.

Suy ra:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}}\\
{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{A'}} = 2}\\
{{y_{A'}} = 5}
\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow A'\left( {2\,;\,\,5} \right)$

Phương trình đường thẳng IA’: đi qua I(0; 1) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow {IA'} \left( {2;4} \right) \Rightarrow \vec n\left( {2;\,\, - 1} \right)\,$. Phương trình IA’:

2(x - 0) - 1(y – 1) = 0 hay 2x – y + 1 = 0 chính là phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua l.