Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ có phương trình lần lượt là $\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1},\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})$. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ là.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho S (1;2;3) và các điểm A , B , C thuộc các trục Ox , Oy , Oz sao cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S .ABC 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec u$ và mặt phẳng (P)
có vectơ pháp tuyến $\vec n$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho , có độ dài lần lượt là 1 và 2. Biết $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 3$ khi đó góc giữa 2 vectơ $\vec a, \vec b$ là
 

Cho tứ diện ABCD có $A\,(2;1;-1),\,\,B\,(3;0;1),\,\,C\,(2;-1;3)$ và điểm D thuộc trục Oy. Biết ${{V}_{ABCD}}=5.$ Tìm tọa độ điểm D.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( {4;\,1; – \,2} \right)$. Tọa độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường tròn $\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 12x + 4y - 6z - 24 = 0\\ 2x + 2y + z + 1 = 0 \end{array} \right.$. Tâm H của (C) là điểm có tọa độ:

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x-y+3z=0 . Đường thẳng d đi qua M (1;-1;2)và vuông góc với (P) có phương trình
 

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 5}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 6}}{2}$Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, độ dài của véc tơ $\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ được tính bởi công thức nào?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(-1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

Cho mặt phẳng $(P): x-2 y+z-3=0 \text { và điểm } A(1 2 ; 0)$, phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(3 ;-4 ; 7)$ và chứa trục Oz .

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC . Biết $M N=\frac{a \sqrt{6}}{2}$ , tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD). 

Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d_1$ qua điểm $M(3 ;-2 ; 1)$ và có VTCP $\vec{u}(1 ;-1 ; 2)$, gọi $d_2$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): x-y+2 z=0 \text { và }(Q): x+2 y+z-3=0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $d_1$và song song với $d_2$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 + t\\z = – 1 – 2t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y – 2}}{{ – 3}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$. Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$, $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc d, $N\left( {4;4;1} \right)$. Khi độ dài MN ngắn nhất thì a + b + c bằng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm $A\left( {1;3;2} \right),\,B\left( {1;2;1} \right),\,C\left( {1;1;3} \right)$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l} z = 1 + t\\ y = 2t\\ z = - 1 \end{array} \right.$, điểm M(1;2;−1)  và mặt phẳng (P):2x+y−2z−1=0. Đường thẳng Δ đi qua M , song song với (P) và vuông góc với d có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

(x − 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; -1), B(3; -5; 2). Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(1; 4;-7) và vuông góc với mặt phẳng $x+2 y-2 z-3=0$ có phương trình là