Trong không gian Oxyz , véctơ \(\vec{u}\) vuông góc với hai véctơ \(\vec{a}=(1 ; 1 ; 1) \text { và } \vec{b}=(1 ;-1 ; 3)\) ; đồng thời \(\vec{u}\) tạo với tia Oz một góc tù và độ dài véctơ \(\vec{u}\) bằng 3. Tìm véctơ \(\vec{u}\) .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \vec{a} \text { và } \vec{b} \text { không cùng phương đồng thời }\\ &\left\{\begin{array}{l} \vec{u} \perp \vec{a} \\ \vec{u} \perp \vec{b} \end{array} \Rightarrow \vec{u} / /[\vec{a}, \vec{b}]=(4 ;-2 ;-2) \Rightarrow \vec{u}=(2 k ;-k ;-k) .\right. \end{aligned}\)
\(\text { Do }|\vec{u}|=3 \Leftrightarrow \sqrt{4 k^{2}+k^{2}+k^{2}}=3 \Leftrightarrow k=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\)
Mặt khác u tạo với tia Oz một góc tù nên
\(\cos (\vec{u}, \vec{k})<0 \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{k}<0 \Leftrightarrow 2 k .0+(-k) \cdot 1<0 \Leftrightarrow(-k) \cdot 1<0 \Leftrightarrow k>0 \text { . Suy ra } k=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(\text { Vậy } \vec{u}=\left(\sqrt{6} ;-\frac{\sqrt{6}}{2} ; \frac{\sqrt{6}}{2}\right) \text { . }\)
