Tìm số tự nhiên n thỏa mãn \( \frac{{C_n^0}}{{1.2}} + \frac{{C_n^1}}{{2.3}} + \frac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \frac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{2^{100}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCách 1: Ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{{C_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{\left( {n - k} \right)!\left( {k + 2} \right)!\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{C_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ \to \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{C_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{C_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{C_n^0}}{{1.2}} + \frac{{C_n^1}}{{2.3}} + \frac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \frac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{C_{n + 2}^2 + C_{n + 2}^3 + C_{n + 2}^4 + ... + C_{n + 2}^{n + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}(*) \end{array}\)
Ta xét khai triển sau:
\( {\left( {1 + x} \right)^{n + 2}} = C_{n + 2}^0 + x.C_{n + 2}^1 + {x^2}.C_{n + 2}^2 + {x^3}.C_{n + 2}^3 + ... + {x^{n + 2}}.C_{n + 2}^{n + 2}\)
Chọn
\( x = 1 \Rightarrow {2^{n + 2}} = C_{n + 2}^0 + C_{n + 2}^1 + C_{n + 2}^2 + C_{n + 2}^3 + ... + C_{n + 2}^{n + 2}\)
Do đó:
\( \left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^{100}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{2^{n + 2}} - C_{n + 2}^0 - C_{n + 2}^1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \Leftrightarrow {2^{100}} = {2^{n + 2}} \Leftrightarrow n = 98\)
