Tập hợp A gồm n phần tử (n ≥≥ 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số k∈{1;2;...;n} sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiSố tập hợp con chứa k phần tử của A là \(C^k_n\)
Điều kiện: n≥4,n∈N
Như vậy số tập con có chứ 4 phần tử và 2 phần tử của A lần lượt là: \(C^2_4;C^2_n\) tập hợp.
Theo đề bài ta có phương trình:
\(\begin{array}{l} C_n^4 = 20C_n^2 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{4!(n - 4)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)!}}{{24(n - 4)!}} = \frac{{20n(n - 1)(n - 2)!}}{{2(n - 2)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{(n - 2)(n - 3)}}{{24}} = 10\\ \Leftrightarrow (n - 2)(n - 3) = 240 \Leftrightarrow {n^2} - 5n - 234 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 18\\ n = - 13 \end{array} \right. \end{array}\)
Để số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất thì:
\(\begin{array}{l} \to \left\{ \begin{array}{l} C_{18}^k \ge C_{18}^{k - 1}\\ C_{18}^k \ge C_{18}^{k + 1} \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} \frac{{18!}}{{k!(18 - k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k - 1} \right)!(19 - k)!}}\\ \frac{{18!}}{{k!(18 - k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k - 1} \right)!(17 - k)!}} \end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{k!\left( {k - 1} \right)!(18 - k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k - 1} \right)!(19 - k)!(18 - k)!}}\\ \frac{{18!}}{{k!(18 - k)!(17 - k)!}} \ge \frac{{18!}}{{\left( {k + 1} \right)!k!(17 - k)!}} \end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{k} \ge \frac{1}{{19 - k}}\\ \frac{1}{{18 - k}} \ge \frac{1}{{k + 1}} \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} 19 - k \ge k\\ k + 1 \ge 18 - k \end{array} \right.\\ \to \frac{{17}}{2} \le k \le \frac{{19}}{2} \to k = 9 \end{array}\)
Vậy tập hợp con chứa 9 phần tử thỏa mãn bài toán.
Chọn B
