Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây theo chiều dương của trục Ox. Hình vẽ mô tả hình dạng của sợi dây tại thời điểm t₁ và t₂ = t₁ + 1 s. Tại thời điểm t₂, vận tốc của điểm M trên dây gần giá trị nào nhất sau đây?

     

Dựa vào hình vẽ, quãng đường sóng truyền được trong 1 s là \(s=\frac{3}{20}-\frac{1}{20}=\frac{1}{10}\text{ m}=10\text{ cm}\text{.}\)

Vận tốc truyền sóng: \(v=\frac{s}{\Delta t}=\frac{10}{1}=10\text{ cm/s}\text{.}\)

Phương trình dao động tại O: \({{u}_{O}}=A\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0O}} \right)=4\cos \left( \omega t \right)\text{ (cm)}\text{.}\)

Dựa vào hình vẽ, ta có: \(OA=\frac{\lambda }{4}\Rightarrow \lambda =4.OA=4.\frac{1}{10}=\frac{2}{5}=0,4\text{ m}\text{.}\)

Phương trình dao động tại A: \({{u}_{A}}=4\cos \left( \omega t-\frac{2\pi .OA}{\lambda } \right)=4\cos \left( \omega t-\frac{\pi }{2} \right)\text{ (cm)}\text{.}\)

Phương trình dao động tại B: \({{u}_{B}}=4\cos \left( \omega t-\frac{2\pi .OB}{\lambda } \right)=4\cos \left( \omega t-\frac{3\pi }{4} \right)\text{ (cm)}\text{.}\)

Tại thời điểm t₁:

    + \({{u}_{A}}=4\cos \left( \omega {{t}_{1}}-\frac{\pi }{2} \right)=0\Rightarrow \omega {{t}_{1}}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+{{\text{k}}_{\text{A}}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\Rightarrow \omega {{t}_{1}}=\pi +{{\text{k}}_{\text{A}}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ (1)}\text{.}\)

    + \({{u}_{O}}=4\cos \left( \omega {{t}_{1}} \right)=4\Rightarrow \cos \left( \omega {{t}_{1}} \right)=1\Rightarrow \omega {{t}_{1}}={{k}_{O}}\text{2}\pi \text{ (2)}\text{.}\)

Ta có: \((2)=(1)\Rightarrow {{k}_{O}}\text{2}\pi =\pi +{{\text{k}}_{\text{A}}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\Rightarrow \)k_A phải là số lẻ.

Tại thời điểm t₂: \({{u}_{B}}=4\cos \left( \omega {{t}_{2}}-\frac{3\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow \omega {{t}_{2}}-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+{{\text{k}}_{B}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\Leftrightarrow \omega {{t}_{2}}=\frac{5\pi }{4}+{{\text{k}}_{B}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ (3)}.\)

Lấy \((3)-(1)\Rightarrow \omega {{t}_{2}}-\omega {{t}_{1}}=\frac{\pi }{4}+({{k}_{B}}-{{k}_{A}})\pi \Rightarrow \omega =\frac{\pi }{4}+({{k}_{B}}-{{k}_{A}})\pi \Rightarrow \omega =\frac{\pi }{4}+k\pi .\)

Phương trình dao động tại M: \({{u}_{M}}=4\cos \left( \omega t-\frac{2\pi .OM}{\lambda } \right)=4\cos \left( \omega t-\frac{11\pi }{3} \right)\text{ (cm)}\text{.}\)

=> Phương trình vận tốc tại M: \({{v}_{M}}=\text{u}{{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}_{M}}=-4\omega \sin \left( \omega t-\frac{11\pi }{3} \right)\text{ (cm/s)}\text{.}\)

Tại thời điểm t₂:

        \(\text{ }{{v}_{M}}=-4\omega \sin \left( \omega {{t}_{2}}-\frac{11\pi }{3} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{v}_{M}}=-4\omega \sin \left( \frac{5\pi }{4}+{{\text{k}}_{B}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{11\pi }{3} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{v}_{M}}=-4\omega \sin \left( {{\text{k}}_{B}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{29\pi }{12} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{v}_{M}}=-4\omega \sin \left( {{\text{k}}_{B}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{5\pi }{12} \right)\)

    \(\Leftrightarrow {{v}_{M}}=-4\left( \frac{\pi }{4}+k\pi \right).\sin \left( {{\text{k}}_{B}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{5\pi }{12} \right)\text{.}\)

Lấy k = 0 và k_A = 1 thì k_B = k_A = 1 \(\Rightarrow {{v}_{M}}=-4\pi .\sin \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{5\pi }{12} \right)=-4\pi .\sin \left( \frac{7\pi }{12} \right)=-3,034\text{ cm/s}\text{.}\)