Kết quả của \(\mathrm{C}_{2001}^{0}+3^{2} \mathrm{C}_{2001}^{2}+3^{4} \mathrm{C}_{2001}^{4}+\cdots+3^{2000} \mathrm{C}_{2001}^{2000}\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\((1+x)^{2001}=\mathrm{C}_{2001}^{0}+\mathrm{C}_{2001}^{1} x+\mathrm{C}_{2001}^{2} x^{2}+\mathrm{C}_{2001}^{3} x^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2001}^{2001} x^{2001} .\)
\(\text { Cho } x=3 \text { ta được: } 4^{2001}=\mathrm{C}_{2001}^{1}+3 \mathrm{C}_{2001}^{1}+3^{2} \mathrm{C}_{2001}^{2}+3^{3} \mathrm{C}_{2001}^{3}+3^{4} \mathrm{C}_{2001}^{4}+\cdots+3^{2001} \mathrm{C}_{2001}^{2001} \text { . }(1)\)
mặt khác \(\begin{array}{c} (1-x)^{2001}=\mathrm{C}_{2001}^{0}-\mathrm{C}_{2001}^{1} x+\mathrm{C}_{2001}^{2} x^{2}-\mathrm{C}_{2001}^{3} x^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2001}^{2001} x^{2001} \end{array}\)
Thay x=3 ta được: \((-2)^{2001}=\mathrm{C}_{2001}^{0}-3 \mathrm{C}_{2001}^{1}+3^{2} \mathrm{C}_{2001}^{2}-3^{3} \mathrm{C}_{2001}^{3}+\cdots-3^{2001} \mathrm{C}_{2001}^{2001}(2)\)
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được
\(\begin{aligned} & 4^{2001}-2^{2001}=2 \mathrm{C}_{2001}^{0}+2 \cdot 3^{2} \mathrm{C}_{2001}^{2}+2 \cdot 3^{4} \mathrm{C}_{2001}^{4}+\cdots+2 \cdot 3^{2000} \mathrm{C}_{2001}^{2000} \\ \Leftrightarrow & \frac{2^{2 \cdot 2001}-2^{2001}}{2}=\mathrm{C}_{2001}^{0}+3^{2} \mathrm{C}_{2001}^{2}+3^{4} \mathrm{C}_{2001}^{4}+\cdots+3^{2000} \mathrm{C}_{2001}^{2000} \\ \Leftrightarrow & 2^{4001}-2^{2000}=\mathrm{C}_{2001}^{0}+3^{2} \mathrm{C}_{2001}^{2}+3^{4} \mathrm{C}_{2001}^{4}+\cdots+3^{2000} \mathrm{C}_{2001}^{2000} \end{aligned}\)
hay \(\mathrm{C}_{2001}^{0}+3^{2} \mathrm{C}_{2001}^{2}+3^{4} \mathrm{C}_{2001}^{4}+\cdots+3^{2000} \mathrm{C}_{2001}^{2000}=2^{2000}\left(2^{2001}-1\right)\)
