Hàm số f( x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là \(f^{\prime}(x)=|x-1|\). Biết \(f(0)=3.\, \text{Tính}\, f(2)+f(4)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(Ta\operatorname{có} f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x-1 & \text { khi } & x \geq 1 \\ -(x-1) & \text { khi } & x<1\end{array}\right.$\\ Khi\, x \geq 1 thì\,f(x)=\int(x-1) \mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2}-x+C_{1}\\ Khi\, x<1\, thì f(x)=-\int(x-1) \mathrm{d} x=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{2}\\ Theo \,đề\, bài\, ta \,có f(0)=3\, nên\, C_{2}=3 \Rightarrow f(x)=-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\)Mặt khác do hàm số f(x) liên tục tại x=1 nên:
\(\quad \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)\\ \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left[-\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+3\right]=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left[\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)+C_{1}\right]\\ \Leftrightarrow-\left(\frac{1}{2}-1\right)+3=\frac{1}{2}-1+C_{1} \Leftrightarrow C_{1}=4\\ Vậy\, khi\, x \geq 1\, thì \,f(x)=\frac{x^{2}}{2}-x+4 \Rightarrow f(2)+f(4)=12\)
