Cho tứ diện ABCD với \(AC = \frac{3}{2}AD,\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = {60^0},CD = AD\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}}\)
Mặt khác
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AB.AD.\cos {60^0} - AB.AC.\cos {60^0}\\ = AB.AD.\frac{1}{2} - AB.\frac{3}{2}AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = - \frac{1}{4}AB.CD. \end{array}\)
Do có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{ - \frac{1}{4}AB.CD}}{{AB.CD}} = - \frac{1}{4}\).
Suy ra \(\cos \varphi = \frac{1}{4}\)
