Cho tam giác ABC có A là góc nhọn và các đường cao là \(A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}\). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và H ′ là điểm đối xứng của H qua BC. Tứ giác nào sau đây là tứ giác nội tiếp ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Vì H ′ đối xứng với H qua BC suy ra \(\widehat{B H C}=\widehat{B H^{\prime} C}\) . Mặt khác \(\widehat{B H C}=\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}\)(Hai góc đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat{B H^{\prime} C}=\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}\,\,\,\,\,(1)\)
Ta có \(\left\{\begin{array}{l} B B^{\prime} \perp A C \\ C C^{\prime} \perp A B \end{array} \Rightarrow \widehat{A C^{\prime} H}=\widehat{A B^{\prime} H}=90^{\circ}\right.\)
Vậy tứ giác AB'HC' là tứ giác nội tiếp.
Suy ra \(\widehat{B^{\prime} A C^{\prime}}+\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}=180^{0}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{B H^{\prime} C}+\widehat{B A C}=180^{\circ}\)
Vậy tứ giác ABH'C là tứ giác nội tiếp.
