Cho \( I = \int {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} =F(x)\). Giá trị của \( F(\frac{\pi }{2}) - F(0)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \( \ t= \sqrt {1 + 3\cos x} \Rightarrow {t^2} - 1 = 3\cos x \Rightarrow 2tdt = - 3\sin xdx\)
Lại có:
\(\sin 2x + \sin x = 2\sin x\cos x + \sin x = \left( {2\cos x + 1} \right)\sin x\)
Do đó
\(\begin{array}{l} \frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = \frac{{\left( {2\cos x + 1} \right)\sin xdx}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }} = \frac{{\left( {2.\frac{{{t^2} - 1}}{3} + 1} \right).\frac{{ - 2tdt}}{3}}}{t} = - \frac{2}{9}\left( {2{t^2} + 1} \right)\\ \Rightarrow I = - \smallint \frac{2}{9}\left( {2{t^2} + 1} \right)dt = - \frac{2}{9}\left( {\frac{{2{t^3}}}{3} + t} \right) + C = - \frac{2}{9}\left( {\frac{{2\sqrt {{{\left( {1 + 3\cos x} \right)}^3}} }}{3} + \sqrt {1 + 3\cos x} } \right) + C\\ \Rightarrow F\left( x \right) = - \frac{2}{9}\left( {\frac{{2\sqrt {{{\left( {1 + 3\cos x} \right)}^3}} }}{3} + \sqrt {1 + 3\cos x} } \right) + C\\ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = \frac{{34}}{{27}} \end{array}\)
