Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3, \int\limits_0^2 {f\left( {5x + 2} \right){\rm{d}}x} = 3\). Khi đó \(\int\limits_1^{12} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường\(x=0, x=\pi, y=0 \text { và } y=-\sin x.\) Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức
.

Kết quả của tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {x + 1 + \frac{2}{{x - 1}}} \right)dx\) được viết dưới dạng \(a+b\ln 2\) với a, b ∈ Q. Khi đó a+b bằng:

Tìm giá trị của \(\text {a để } \int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathrm{d} x=\ln a\)

Số nghiệm dương của phương trình \(: x^{3}+a x+2=0, \text { với } a=\int_{0}^{1} 2 x d x\)  với , a và b là các số hữu tỉ là

Tính tích phân sau \(\mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{3}} \left| {\sin x} \right|dx\)

Tích phân \(I=\int_{1}^{a} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x} d x=\frac{1}{3} \ln \frac{7}{2}\) . Giá trị của a là

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{{x^2} - 5x + 6}}\) bằng

Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right)=1\) và \(f\left( 2 \right)=4\). Tính \(J=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{f}'\left( x \right)+2}{x}-\frac{f\left( x \right)+1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}\).

Xét tích phân \(I=\int_{0}^{\pi / 3} \frac{\sin 2 x}{1+\cos x} d x\) . Thực hiện phép đổi biến \(t=\cos x\), ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?

Giá trị của tích phân  \(I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) là

Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{d} t>0(\text { ẩn } x)\) là:

Tích phân: \(J = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{xdx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx\) bằng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn \(3 f(x)+x \cdot f^{\prime}(x) \geq x^{2018} \quad \forall x \in[0 ; 1]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Biết \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}\). Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính \(T=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

Tính tích phân \(I = \int\limits_4^5 {\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x – 3} \right){\rm{d}}x} \)?

Tính  tích phân sau \(C = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}dx\)

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx\) bằng

Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P): y=x^{2}\) và đường thẳng d: y=2x quay xung quanh trục Ox .

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\).

Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Cho hàm số f (x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 \text { và } \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{d} x=2\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)