Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 2a,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^o}.\) Và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 2 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC theo a.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi K là trung điểm của BC.
Do \(\widehat {SCB} = \widehat {SAB} = {90^o}\) nên dễ dàng nhận thấy trung điểm II của SBSB là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.
Gọi MM là trung điểm của AC. Tam giác ABCABC vuông tại B, ta có MA=MB=MC, mặt khác IA=IB=IC, do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay IM⊥(ABC).
Ta có \(d\left( {M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\)
Trong tam giác IMKIMK, kẻ MH ⊥ IK (1)
\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot IM\\ BC \bot MK \end{array} \right.\)⇒ BC ⊥ (IMK) ⇒ BC ⊥ MH(2).
Từ (1),(2) suy ra MH ⊥ (SBC).
Xét tam giác vuông IMK ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{I^2}}} + \frac{1}{{M{K^2}}}}\\ { \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{M{I^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}}\\ { \Leftrightarrow \frac{1}{{M{I^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow MI = a.} \end{array}\)
Xét tam giác vuông IMA ta có \(IA = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 .2a}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 a.\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} = 12\pi {a^2}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ,SA=2a và vuông góc với (ABCD) . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:
-
Chọn phát biểu đúng: Khi quay tam giác (ABC ) vuông tại (A ) quanh trục (AB ) thì
-
Cho hình chữ nhật (ABCD ). Gọi (M,N ) lần lượt là trung điểm các cạnh (AB,CD ). Quay hình chữ nhật quanh trục (MN ) ta được hình trụ có bán kính đáy là:
-
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy một góc 600. Thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ theo a bằng:
-
Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, \(AB = a\sqrt {10} ,\;BC = 2a\). Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.
-
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
-
Tính diện tích toàn phần S của mặt nón (N) biết thiết diện qua trục của nó là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(2\sqrt 2a\)
-
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là
-
Cho hình trụ có diện tích xung quanh Sxq và bán kính đáy (r ). Công thức tính chiều cao hình trụ là:
-
Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết \(AC = a\sqrt2,\,\,\widehat {ABC} = 45^0\) . Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là
-
Công thức nào sau đây không đúng khi tính diện tích toàn phần hình trụ?
-
Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng \(4\pi \) và có chiều cao bằng đường kính đáy. Thể tích khối trụ tương ứng bằng
-
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2\sqrt3\) . Thể tích của khối nón này là
-
Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu (S) là
-
Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao \(20\;{\rm{m}}\), chu vi đáy bằng \(5\;{\rm{m}}\)
-
Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB =3a và AC = 4a . Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC bằng
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
-
Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông AB, đường gấp khúc BCA tạo thành hình tròn xoay nào trong bốn hình sau đây.
