Cho mặt cầu tâm (O ) bán kính (R ). Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N ) có đỉnh (S ) nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h (h > R ). Tìm (h ) để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Ta có: Gọi bán kính (C) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và :
\(\begin{array}{*{20}{l}} {OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} + R}\\ {V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)} \end{array}\)
Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:
\(\begin{array}{l} f(r) = {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R) = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\\ \Rightarrow f\prime (r) = ({r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R)\prime = ({r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )\prime + ({r^2}R)\prime \\ = ({r^2})\prime \sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} )\prime + 2rR\\ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\ = r\left( {2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R} \right)\\ f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{R}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 0\\ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}\\ \Leftrightarrow {r^2} = \frac{8}{9}{R^2} \to h = \frac{{4{\rm{R}}}}{3}. \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
-
Cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua trục thu được thiết diện là một tam giác vuông có diện tích bằng 8. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC là
-
Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng:
-
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng tạo với trục một góc 45 0 thì ta được:
-
Một khối nón có thể tích bằng \(30\pi\), nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng
-
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 1200 và đường cao bằng (2. ) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
-
Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức luôn đúng là?
-
Số hình nón có được khi quay hình sau quanh trục (BC ) là:
-
Thể tích khối nón có bán kính đáy r = 2cm và h = 3cm là:
-
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 2a,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^o}.\) Và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 2 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC theo a.
-
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB=q , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \(60^o\) . Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
-
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là
-
Cho một hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h và thể tích V1; một hình nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và có thể tích V2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
-
Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình trụ (T) là
-
Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Một hình nón có bán kính đáy là 5a, độ dài đường sinh là 13a thì đường cao h của hình nón là
-
Cho hình nón có đường cao h = 10cm và thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục của hình nón là một tam giác đều. Diện tích xung quanh của hình nón là:
-
Cho điểm M, đường tròn (CM) trục (\(\Delta\)) và các điểm N thuộc (CM),A thuộc \(\Delta\). Chọn mệnh đề sai:
