\(\text { Cho hai số thực } a \text { và } b \text { thỏa mãn } \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt[3]{a x+b}-3}{x^{2}-9}=\frac{1}{54} . \text { Tìm } a \text { và } b \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \lim \limits _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt[3]{a x+b}-3}{x^{2}-9}=\lim \limits _{x \rightarrow 3} \frac{a x+b-27}{\left(x^{2}-9\right)\left[\sqrt[3]{(a x+b)^{2}}+3 \sqrt[3]{a x+b}+9\right]}\\ &=\lim \limits _{x \rightarrow 3} \frac{a(x-3)+3 a+b-27}{\left(x^{2}-9\right)\left[\sqrt[3]{(a x+b)^{2}}+3 \sqrt[3]{a x+b}+9\right]} .\\ &\text { Để } \lim \limits _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt[3]{a x+b}-3}{x^{2}-9}=\frac{1}{54} \text { thì }\left\{\begin{array}{l} 3 a+b-27=0 \\ \lim \limits _{x \rightarrow 3} \frac{a}{(x+3)\left[\sqrt[3]{(a x+b)^{2}}+3 \sqrt[3]{a x+b}+9\right]}=\frac{1}{54} \end{array}\right.\\ &\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 3 a+b=27 \\ \frac{a}{6\left[\sqrt[3]{(3 a+b)^{2}}+3 \sqrt[3]{3 a+b}+9\right]} \end{array}=\frac{1}{54} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=3 \\ b=18 \end{array} .\right.\right. \end{aligned} \)
