Vật thể có dạng khối hình bán cầu đồng chất, khối lượng phân bố đều, bán kính R thì khối tâm của vật nằm trên trục đối xứng của hình bán cầu và cách đáy một khoảng:
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để tìm vị trí khối tâm của bán cầu đồng chất, ta sử dụng phương pháp tích phân. Gọi trục đối xứng của bán cầu là trục z, gốc tọa độ đặt tại tâm của mặt đáy bán cầu. Xét một đĩa tròn mỏng có độ dày dz, bán kính r, nằm ở độ cao z so với mặt đáy.
- Thể tích của đĩa tròn là dV = πr²dz. Vì r² = R² - z², nên dV = π(R² - z²)dz.
- Khối lượng riêng của bán cầu là ρ = M/V = M/(2πR³/3), trong đó M là khối lượng của bán cầu.
- Khối lượng của đĩa tròn là dm = ρdV = [M/(2πR³/3)] * π(R² - z²)dz = (3M/2R³) * (R² - z²)dz.
- Tọa độ z của khối tâm được tính bằng công thức:
z_cm = (1/M) ∫z dm = (1/M) ∫z * (3M/2R³) * (R² - z²)dz = (3/2R³) ∫z(R² - z²)dz, tích phân từ 0 đến R.
Tính tích phân:
∫z(R² - z²)dz = ∫(R²z - z³)dz = R²(z²/2) - (z⁴/4). Thay cận từ 0 đến R, ta được: R⁴/2 - R⁴/4 = R⁴/4.
Vậy, z_cm = (3/2R³) * (R⁴/4) = 3R/8.
Do đó, khối tâm của vật nằm trên trục đối xứng và cách đáy một khoảng 3R/8.
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Gọi v là vận tốc tịnh tiến của tâm quả cầu. Ta có: v = s/t = 120cm / 2s = 60cm/s.
Gọi ω là vận tốc góc của quả cầu. Vì quả cầu lăn không trượt, ta có hệ thức liên hệ giữa vận tốc tịnh tiến của tâm và vận tốc góc là v = ωr, trong đó r là bán kính của đường tròn tiếp xúc giữa quả cầu và thanh ray.
Vì hai thanh ray song song cách nhau một khoảng d = 6cm, nên bán kính của đường tròn tiếp xúc là r = d/2 = 6cm / 2 = 3cm.
Từ đó, ta có: ω = v/r = 60cm/s / 3cm = 20 rad/s.
Vậy đáp án đúng là D.
Gọi ω là vận tốc góc của quả cầu. Vì quả cầu lăn không trượt, ta có hệ thức liên hệ giữa vận tốc tịnh tiến của tâm và vận tốc góc là v = ωr, trong đó r là bán kính của đường tròn tiếp xúc giữa quả cầu và thanh ray.
Vì hai thanh ray song song cách nhau một khoảng d = 6cm, nên bán kính của đường tròn tiếp xúc là r = d/2 = 6cm / 2 = 3cm.
Từ đó, ta có: ω = v/r = 60cm/s / 3cm = 20 rad/s.
Vậy đáp án đúng là D.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
The sphere rolls without slipping on two rails, so the point of contact on the sphere has zero velocity. Let v be the translational velocity of the center of the sphere. We have v = s/t = 120 cm / 2 s = 60 cm/s = 0.6 m/s. Let \u03c9 be the angular velocity. Since the sphere rolls without slipping, v = \u03c9r, where r is the radius of the circle that the contact point of the sphere traces on the rail. Thus, r = d/2 = 4 cm / 2 = 2 cm = 0.02 m. Therefore, \u03c9 = v/r = 0.6 m/s / 0.02 m = 30 rad/s. The velocity of point N is not simply \u03c9R because N is not the point of contact. Point N is at the top of the sphere, so its velocity is the sum of the translational velocity of the center of mass and the tangential velocity due to rotation. Thus, v_N = v + \u03c9R = 0.6 + 30 * 0.03 = 0.6 + 0.9 = 1.5 m/s. However, the question may be asking for the magnitude of the velocity. In this case, since the translational velocity is horizontal, vx = 0.6 m/s. The tangential velocity is vertically upward, vy = \u03c9R = 0.9 m/s. Then, the magnitude of the velocity is sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(0.6^2 + 0.9^2) = sqrt(0.36 + 0.81) = sqrt(1.17) \u2248 1.08 m/s. It is possible that none of the answers are correct due to an error in the provided options or in the problem setup.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Do có thêm chất điểm 3m tại A nên khối tâm của hệ chất điểm không còn là G nữa. Gọi O là khối tâm của hệ.
Ta có:
* \(m \overrightarrow{OB} + m \overrightarrow{OC} + 3m \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}\)
* \(m \overrightarrow{OB} + m \overrightarrow{OC} = 2m \overrightarrow{OG}\)
Suy ra: \(2 \overrightarrow{OG} + 3 \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AO} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AG} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AM}\) (Với M là trung điểm BC)
Khoảng cách từ O đến A: \(r_A = AO = \frac{4}{15} AM = \frac{4}{15} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2a \sqrt{3}}{15}\)
Khoảng cách từ O đến B và C:
\(r_B = r_C = \sqrt{AO^2 + AB^2 - 2 AO \cdot AB \cdot cos(\frac{\pi}{6})} = \sqrt{(\frac{2a \sqrt{3}}{15})^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{2a \sqrt{3}}{15} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = a \sqrt{\frac{13}{25}} = \frac{a \sqrt{13}}{5}\)
Mômen quán tính của hệ đối với trục quay đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC là:
\(I = m r_B^2 + m r_C^2 = 2m \cdot \frac{13a^2}{25} = \frac{26}{25} m a^2\)
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính mômen quán tính đối với trục quay chứa khối tâm G của hệ và chứa đỉnh A. Điều này có nghĩa là trục quay là đường thẳng AG. Khi đó, khoảng cách từ các chất điểm B và C đến trục quay AG là:
\(r_B = r_C = a sin(30^o) = a/2\)
Mômen quán tính của hệ đối với trục quay AG là:
\(I = m r_B^2 + m r_C^2 = m (a/2)^2 + m (a/2)^2 = 2m a^2 / 4 = \frac{1}{2} m a^2\)
Vậy đáp án đúng là D.
Ta có:
* \(m \overrightarrow{OB} + m \overrightarrow{OC} + 3m \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}\)
* \(m \overrightarrow{OB} + m \overrightarrow{OC} = 2m \overrightarrow{OG}\)
Suy ra: \(2 \overrightarrow{OG} + 3 \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AO} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AG} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AM}\) (Với M là trung điểm BC)
Khoảng cách từ O đến A: \(r_A = AO = \frac{4}{15} AM = \frac{4}{15} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2a \sqrt{3}}{15}\)
Khoảng cách từ O đến B và C:
\(r_B = r_C = \sqrt{AO^2 + AB^2 - 2 AO \cdot AB \cdot cos(\frac{\pi}{6})} = \sqrt{(\frac{2a \sqrt{3}}{15})^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{2a \sqrt{3}}{15} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = a \sqrt{\frac{13}{25}} = \frac{a \sqrt{13}}{5}\)
Mômen quán tính của hệ đối với trục quay đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC là:
\(I = m r_B^2 + m r_C^2 = 2m \cdot \frac{13a^2}{25} = \frac{26}{25} m a^2\)
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính mômen quán tính đối với trục quay chứa khối tâm G của hệ và chứa đỉnh A. Điều này có nghĩa là trục quay là đường thẳng AG. Khi đó, khoảng cách từ các chất điểm B và C đến trục quay AG là:
\(r_B = r_C = a sin(30^o) = a/2\)
Mômen quán tính của hệ đối với trục quay AG là:
\(I = m r_B^2 + m r_C^2 = m (a/2)^2 + m (a/2)^2 = 2m a^2 / 4 = \frac{1}{2} m a^2\)
Vậy đáp án đúng là D.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Bài toán này liên quan đến việc áp dụng định luật II Newton cho hệ vật và ròng rọc. Ta cần xét các lực tác dụng lên từng vật và ròng rọc, sau đó thiết lập các phương trình chuyển động.
Gọi a là gia tốc của hệ, T1 và T2 lần lượt là lực căng dây treo vật m1 và m2.
Áp dụng định luật II Newton cho vật m1:
P1 - T1 = m1.a => m1.g - T1 = m1.a (1)
Áp dụng định luật II Newton cho vật m2:
T2 - P2 = m2.a => T2 - m2.g = m2.a (2)
Ròng rọc chịu tác dụng của hai lực căng T1 và T2, mô men quán tính của ròng rọc là I = (m.R^2)/2. Áp dụng phương trình mô men lực cho ròng rọc:
T1.R - T2.R = I.γ = I.a/R => (T1 - T2).R = (m.R^2)/2 . a/R => T1 - T2 = m.a/2 (3)
Từ (1) => T1 = m1.g - m1.a
Từ (2) => T2 = m2.g + m2.a
Thay vào (3): m1.g - m1.a - m2.g - m2.a = m.a/2 => (m1 - m2).g = (m1 + m2 + m/2).a
=> a = (m1 - m2).g / (m1 + m2 + m/2) = (2,6 - 1).10 / (2,6 + 1 + 0,8/2) = 1,6.10 / (3,6 + 0,4) = 16/4 = 4 m/s^2
Thay a = 4 m/s^2 vào (2) => T2 = m2.g + m2.a = 1.10 + 1.4 = 14 N
Gọi a là gia tốc của hệ, T1 và T2 lần lượt là lực căng dây treo vật m1 và m2.
Áp dụng định luật II Newton cho vật m1:
P1 - T1 = m1.a => m1.g - T1 = m1.a (1)
Áp dụng định luật II Newton cho vật m2:
T2 - P2 = m2.a => T2 - m2.g = m2.a (2)
Ròng rọc chịu tác dụng của hai lực căng T1 và T2, mô men quán tính của ròng rọc là I = (m.R^2)/2. Áp dụng phương trình mô men lực cho ròng rọc:
T1.R - T2.R = I.γ = I.a/R => (T1 - T2).R = (m.R^2)/2 . a/R => T1 - T2 = m.a/2 (3)
Từ (1) => T1 = m1.g - m1.a
Từ (2) => T2 = m2.g + m2.a
Thay vào (3): m1.g - m1.a - m2.g - m2.a = m.a/2 => (m1 - m2).g = (m1 + m2 + m/2).a
=> a = (m1 - m2).g / (m1 + m2 + m/2) = (2,6 - 1).10 / (2,6 + 1 + 0,8/2) = 1,6.10 / (3,6 + 0,4) = 16/4 = 4 m/s^2
Thay a = 4 m/s^2 vào (2) => T2 = m2.g + m2.a = 1.10 + 1.4 = 14 N
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để giải bài toán này, ta cần tính tổng momen của các lực tác dụng lên vật rắn đối với trục quay O.
Momen của lực được tính theo công thức: M = F.d, trong đó F là độ lớn của lực và d là khoảng cách từ trục quay đến đường thẳng chứa lực (cánh tay đòn của lực).
* Momen của lực F1:
* F1 = 15N
* d1 = OA = 20cm = 0.2m
* M1 = F1.d1 = 15N * 0.2m = 3 Nm. Vì lực F1 hướng xuống dưới, nó tạo ra momen quay theo chiều kim đồng hồ.
* Momen của lực F2:
* F2 = 20N
* d2 = OB.sin(180 - β) = OB.sin(180 - 150) = 0.1m * sin(30) = 0.1m * 0.5 = 0.05m.
* M2 = F2.d2 = 20N * 0.05m = 1 Nm. Vì lực F2 hướng lên trên, nó tạo ra momen quay ngược chiều kim đồng hồ.
* Tổng momen:
* M = M1 - M2 = 3 Nm - 1 Nm = 2 Nm. Vì tổng momen dương, vật rắn sẽ quay theo chiều kim đồng hồ.
Vậy đáp án đúng là A. quay theo chiều kim đồng hồ.
Momen của lực được tính theo công thức: M = F.d, trong đó F là độ lớn của lực và d là khoảng cách từ trục quay đến đường thẳng chứa lực (cánh tay đòn của lực).
* Momen của lực F1:
* F1 = 15N
* d1 = OA = 20cm = 0.2m
* M1 = F1.d1 = 15N * 0.2m = 3 Nm. Vì lực F1 hướng xuống dưới, nó tạo ra momen quay theo chiều kim đồng hồ.
* Momen của lực F2:
* F2 = 20N
* d2 = OB.sin(180 - β) = OB.sin(180 - 150) = 0.1m * sin(30) = 0.1m * 0.5 = 0.05m.
* M2 = F2.d2 = 20N * 0.05m = 1 Nm. Vì lực F2 hướng lên trên, nó tạo ra momen quay ngược chiều kim đồng hồ.
* Tổng momen:
* M = M1 - M2 = 3 Nm - 1 Nm = 2 Nm. Vì tổng momen dương, vật rắn sẽ quay theo chiều kim đồng hồ.
Vậy đáp án đúng là A. quay theo chiều kim đồng hồ.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
