Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Đặt tại các đỉnh A, B, C các chất điểm có khối lượng bằng nhau và bằng m. Đặt thêm một chất điểm có khối lượng 3m tại A. Mômen quán tính đối với trục quay chứa khối tâm G của hệ và chứa đỉnh A là:
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Do có thêm chất điểm 3m tại A nên khối tâm của hệ chất điểm không còn là G nữa. Gọi O là khối tâm của hệ.
Ta có:
* \(m \overrightarrow{OB} + m \overrightarrow{OC} + 3m \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}\)
* \(m \overrightarrow{OB} + m \overrightarrow{OC} = 2m \overrightarrow{OG}\)
Suy ra: \(2 \overrightarrow{OG} + 3 \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AO} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AG} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AM}\) (Với M là trung điểm BC)
Khoảng cách từ O đến A: \(r_A = AO = \frac{4}{15} AM = \frac{4}{15} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2a \sqrt{3}}{15}\)
Khoảng cách từ O đến B và C:
\(r_B = r_C = \sqrt{AO^2 + AB^2 - 2 AO \cdot AB \cdot cos(\frac{\pi}{6})} = \sqrt{(\frac{2a \sqrt{3}}{15})^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{2a \sqrt{3}}{15} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = a \sqrt{\frac{13}{25}} = \frac{a \sqrt{13}}{5}\)
Mômen quán tính của hệ đối với trục quay đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC là:
\(I = m r_B^2 + m r_C^2 = 2m \cdot \frac{13a^2}{25} = \frac{26}{25} m a^2\)
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính mômen quán tính đối với trục quay chứa khối tâm G của hệ và chứa đỉnh A. Điều này có nghĩa là trục quay là đường thẳng AG. Khi đó, khoảng cách từ các chất điểm B và C đến trục quay AG là:
\(r_B = r_C = a sin(30^o) = a/2\)
Mômen quán tính của hệ đối với trục quay AG là:
\(I = m r_B^2 + m r_C^2 = m (a/2)^2 + m (a/2)^2 = 2m a^2 / 4 = \frac{1}{2} m a^2\)
Vậy đáp án đúng là D.
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Bài toán này liên quan đến việc áp dụng định luật II Newton cho hệ vật và ròng rọc. Ta cần xét các lực tác dụng lên từng vật và ròng rọc, sau đó thiết lập các phương trình chuyển động.
Gọi a là gia tốc của hệ, T1 và T2 lần lượt là lực căng dây treo vật m1 và m2.
Áp dụng định luật II Newton cho vật m1:
P1 - T1 = m1.a => m1.g - T1 = m1.a (1)
Áp dụng định luật II Newton cho vật m2:
T2 - P2 = m2.a => T2 - m2.g = m2.a (2)
Ròng rọc chịu tác dụng của hai lực căng T1 và T2, mô men quán tính của ròng rọc là I = (m.R^2)/2. Áp dụng phương trình mô men lực cho ròng rọc:
T1.R - T2.R = I.γ = I.a/R => (T1 - T2).R = (m.R^2)/2 . a/R => T1 - T2 = m.a/2 (3)
Từ (1) => T1 = m1.g - m1.a
Từ (2) => T2 = m2.g + m2.a
Thay vào (3): m1.g - m1.a - m2.g - m2.a = m.a/2 => (m1 - m2).g = (m1 + m2 + m/2).a
=> a = (m1 - m2).g / (m1 + m2 + m/2) = (2,6 - 1).10 / (2,6 + 1 + 0,8/2) = 1,6.10 / (3,6 + 0,4) = 16/4 = 4 m/s^2
Thay a = 4 m/s^2 vào (2) => T2 = m2.g + m2.a = 1.10 + 1.4 = 14 N
Gọi a là gia tốc của hệ, T1 và T2 lần lượt là lực căng dây treo vật m1 và m2.
Áp dụng định luật II Newton cho vật m1:
P1 - T1 = m1.a => m1.g - T1 = m1.a (1)
Áp dụng định luật II Newton cho vật m2:
T2 - P2 = m2.a => T2 - m2.g = m2.a (2)
Ròng rọc chịu tác dụng của hai lực căng T1 và T2, mô men quán tính của ròng rọc là I = (m.R^2)/2. Áp dụng phương trình mô men lực cho ròng rọc:
T1.R - T2.R = I.γ = I.a/R => (T1 - T2).R = (m.R^2)/2 . a/R => T1 - T2 = m.a/2 (3)
Từ (1) => T1 = m1.g - m1.a
Từ (2) => T2 = m2.g + m2.a
Thay vào (3): m1.g - m1.a - m2.g - m2.a = m.a/2 => (m1 - m2).g = (m1 + m2 + m/2).a
=> a = (m1 - m2).g / (m1 + m2 + m/2) = (2,6 - 1).10 / (2,6 + 1 + 0,8/2) = 1,6.10 / (3,6 + 0,4) = 16/4 = 4 m/s^2
Thay a = 4 m/s^2 vào (2) => T2 = m2.g + m2.a = 1.10 + 1.4 = 14 N
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để giải bài toán này, ta cần tính tổng momen của các lực tác dụng lên vật rắn đối với trục quay O.
Momen của lực được tính theo công thức: M = F.d, trong đó F là độ lớn của lực và d là khoảng cách từ trục quay đến đường thẳng chứa lực (cánh tay đòn của lực).
* Momen của lực F1:
* F1 = 15N
* d1 = OA = 20cm = 0.2m
* M1 = F1.d1 = 15N * 0.2m = 3 Nm. Vì lực F1 hướng xuống dưới, nó tạo ra momen quay theo chiều kim đồng hồ.
* Momen của lực F2:
* F2 = 20N
* d2 = OB.sin(180 - β) = OB.sin(180 - 150) = 0.1m * sin(30) = 0.1m * 0.5 = 0.05m.
* M2 = F2.d2 = 20N * 0.05m = 1 Nm. Vì lực F2 hướng lên trên, nó tạo ra momen quay ngược chiều kim đồng hồ.
* Tổng momen:
* M = M1 - M2 = 3 Nm - 1 Nm = 2 Nm. Vì tổng momen dương, vật rắn sẽ quay theo chiều kim đồng hồ.
Vậy đáp án đúng là A. quay theo chiều kim đồng hồ.
Momen của lực được tính theo công thức: M = F.d, trong đó F là độ lớn của lực và d là khoảng cách từ trục quay đến đường thẳng chứa lực (cánh tay đòn của lực).
* Momen của lực F1:
* F1 = 15N
* d1 = OA = 20cm = 0.2m
* M1 = F1.d1 = 15N * 0.2m = 3 Nm. Vì lực F1 hướng xuống dưới, nó tạo ra momen quay theo chiều kim đồng hồ.
* Momen của lực F2:
* F2 = 20N
* d2 = OB.sin(180 - β) = OB.sin(180 - 150) = 0.1m * sin(30) = 0.1m * 0.5 = 0.05m.
* M2 = F2.d2 = 20N * 0.05m = 1 Nm. Vì lực F2 hướng lên trên, nó tạo ra momen quay ngược chiều kim đồng hồ.
* Tổng momen:
* M = M1 - M2 = 3 Nm - 1 Nm = 2 Nm. Vì tổng momen dương, vật rắn sẽ quay theo chiều kim đồng hồ.
Vậy đáp án đúng là A. quay theo chiều kim đồng hồ.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Khi vectơ vận tốc và gia tốc vuông góc với nhau, độ lớn của vận tốc không đổi, chỉ có hướng thay đổi. Điều này là đặc điểm của chuyển động tròn đều.
* Phương án A (thẳng): Chuyển động thẳng có vectơ vận tốc và gia tốc cùng phương.
* Phương án B (tròn): Chuyển động tròn nói chung (không nhất thiết đều) có thể có cả thành phần gia tốc tiếp tuyến (thay đổi độ lớn vận tốc) và gia tốc hướng tâm (thay đổi hướng vận tốc). Trong trường hợp chuyển động tròn đều, gia tốc chỉ có thành phần hướng tâm và vuông góc với vận tốc.
* Phương án C (tròn đều): Trong chuyển động tròn đều, vectơ gia tốc hướng vào tâm và vuông góc với vectơ vận tốc.
* Phương án D (đều): Chuyển động đều là chuyển động thẳng đều hoặc chuyển động tròn đều. Tuy nhiên, đề bài đã cho vectơ vận tốc và gia tốc vuông góc, loại trường hợp chuyển động thẳng đều.
Vậy, đáp án đúng nhất là chuyển động tròn đều.
* Phương án A (thẳng): Chuyển động thẳng có vectơ vận tốc và gia tốc cùng phương.
* Phương án B (tròn): Chuyển động tròn nói chung (không nhất thiết đều) có thể có cả thành phần gia tốc tiếp tuyến (thay đổi độ lớn vận tốc) và gia tốc hướng tâm (thay đổi hướng vận tốc). Trong trường hợp chuyển động tròn đều, gia tốc chỉ có thành phần hướng tâm và vuông góc với vận tốc.
* Phương án C (tròn đều): Trong chuyển động tròn đều, vectơ gia tốc hướng vào tâm và vuông góc với vectơ vận tốc.
* Phương án D (đều): Chuyển động đều là chuyển động thẳng đều hoặc chuyển động tròn đều. Tuy nhiên, đề bài đã cho vectơ vận tốc và gia tốc vuông góc, loại trường hợp chuyển động thẳng đều.
Vậy, đáp án đúng nhất là chuyển động tròn đều.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tìm thời điểm mà gia tốc của chất điểm triệt tiêu, ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính vận tốc theo thời gian:
- Vận tốc theo trục x: vx = dx/dt = d(3t^2 - 42t)/dt = 6t - 42
- Vận tốc theo trục y: vy = dy/dt = d(8t)/dt = 8
2. Tính gia tốc theo thời gian:
- Gia tốc theo trục x: ax = dvx/dt = d(6t - 42)/dt = 6
- Gia tốc theo trục y: ay = dvy/dt = d(8)/dt = 0
3. Tính gia tốc toàn phần:
- Gia tốc toàn phần là a = √(ax^2 + ay^2) = √(6^2 + 0^2) = 6
Vì gia tốc toàn phần luôn bằng 6 và không đổi theo thời gian, nên không có thời điểm nào mà gia tốc triệt tiêu.
1. Tính vận tốc theo thời gian:
- Vận tốc theo trục x: vx = dx/dt = d(3t^2 - 42t)/dt = 6t - 42
- Vận tốc theo trục y: vy = dy/dt = d(8t)/dt = 8
2. Tính gia tốc theo thời gian:
- Gia tốc theo trục x: ax = dvx/dt = d(6t - 42)/dt = 6
- Gia tốc theo trục y: ay = dvy/dt = d(8)/dt = 0
3. Tính gia tốc toàn phần:
- Gia tốc toàn phần là a = √(ax^2 + ay^2) = √(6^2 + 0^2) = 6
Vì gia tốc toàn phần luôn bằng 6 và không đổi theo thời gian, nên không có thời điểm nào mà gia tốc triệt tiêu.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
