Tính thể tích tròn xoay do \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) quay quanh Oy.

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\mathop {\cos x)}\nolimits^{ - \frac{2}{{\mathop x\nolimits^2 }}} \)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop e\nolimits^n \mathop {\sin e}\nolimits^{ - n + 1} \)

Xét bài toán: Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \frac{{\mathop {(e}\nolimits^{\sin x} - 1)(1 - \cos 2x)}}{{\arcsin x.\ln (1 + \mathop x\nolimits^2 )}}\)

Một sinh viên giải bài toán này theo mấy bước dưới đây: 

Bước 1: Áp dụng quy tắc thay vô cùng bé tương đương, giới hạn trở thành: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 )}}\) 

Bước 2: Thay tiếp sinx bởi x và rút gọn ta được: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\) \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\)

Bước 3: Vậy giới hạn cần tính là L = 2

Lời giải đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{\rm{x arctanx dx}}} \)

Tính \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x\ln x}}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx.\)

Tính tích phân \(\int {\frac{{dx}}{{x\ln x.\ln (\ln x)}}} \)

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to 0} \frac{{\mathop {\ln (1 + 2x}\nolimits^2 )}}{{1 - \cos 2x}}\) là:

Cho hàm số y=ln(cosx).  Tính y'\(\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2} - 4\ln 2x\) . Đồ thị của hàm số?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \frac{{{x^2}}}{3},y = 4 - \frac{{2{x^2}}}{3}\)

Tính d³y biết \(y = \frac{1}{{x(1 - x)}}\)

Phân loại điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \mathop x\nolimits^2 \sin \frac{1}{x}\)

Cho hàm số \(y = x\mathop e\nolimits^{ - x} \) . Tính y '''(0)?

Cho hàm số \(y = \mathop x\nolimits^2 + \mathop e\nolimits^{\mathop { - x}\nolimits^2 } \) Tìm d²y(0)?

Cho hàm số \(y = \ln \sqrt[5]{{\frac{{1 + \sin x}}{{\mathop e\nolimits^{ - x} }}}}\) . Tính y '?

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^a {4{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } dx\)

Giá trị giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(\sqrt {\mathop n\nolimits^2 + 2} - \sqrt {\mathop n\nolimits^2 - 1} )\)  là:

Để tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{7}{2}} {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{2x + 1}}}}} ,\) một sinh viên giải theo mấy bước dưới đây:

Bước 1: Đặt \(t = \sqrt[3]{{2x + 1}}.\) Suy ra \({t^3} = 2x + 1\) và \(3{t^2}dt = 2dx\,\,\,hay\,\,\,dx = \frac{2}{3}{t^2}dt\)  

Bước 2 : Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = 2\) 

Bước 3: \(I = \frac{3}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{{t^2}dt}}{t}} = \frac{3}{2}\int\limits_1^2 {tdt = } \frac{3}{4}\left[ {{t^2}} \right]_1^2 = \frac{9}{4}\) 

Lời giải đó đúng hay sai. Nếu sai thì sai từ bước nào?

Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}} \)

Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to 0} \frac{{\mathop e\nolimits^{\sin x} - \cos x}}{{\arcsin 2x}}\)