Tính $\lim_{x \to \infty} = \frac{2^{x} + \cos (n)}{n^{4}}$

+ ∞

Không tồn tại

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Khi x tiến đến vô cùng, tử số có dạng 2 mũ x cộng với cos(n). Ta thấy rằng 2 mũ x tiến đến vô cùng rất nhanh (hàm mũ). Cos(n) là một giá trị bị chặn trong khoảng [-1, 1]. Do đó, tử số tiến đến vô cùng.

Mẫu số là n mũ 4. Tuy nhiên, ở đây có sự nhầm lẫn về biến. Đề bài cho x tiến đến vô cùng, nhưng lại có cos(n) và n mũ 4. Nếu đây là lỗi đánh máy và phải là x mũ 4, thì ta có dạng vô định vô cùng trên vô cùng. Tuy nhiên, hàm mũ 2 mũ x tăng nhanh hơn rất nhiều so với hàm đa thức x mũ 4. Do đó, giới hạn này tiến đến vô cùng.

Nếu n là một hằng số nào đó, thì khi x tiến đến vô cùng, tử số tiến đến vô cùng, mẫu số là một hằng số. Như vậy giới hạn cũng tiến đến vô cùng.

Vậy đáp án đúng là + vô cùng.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 3

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Cho f(x) = 2x.arcsin x. Giá trị d²f(0) là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm d²f(0), ta cần tính đạo hàm cấp hai của f(x) rồi thay x = 0 vào.

f(x) = 2x.arcsin(x)

f'(x) = 2.arcsin(x) + 2x.(1/√(1-x²)) = 2arcsin(x) + (2x/√(1-x²))

f''(x) = 2.(1/√(1-x²)) + (2√(1-x²) - 2x.(-2x)/(2√(1-x²))) / (1-x²)

= 2/√(1-x²) + (2(1-x²) + 2x²) / (1-x²)^3/2

= 2/√(1-x²) + 2 / (1-x²)^3/2

= (2(1-x²) + 2) / (1-x²)^3/2

= (4 - 2x²) / (1-x²)^3/2

Khi x = 0, f''(0) = (4 - 0) / (1-0)^3/2 = 4

Vậy d²f(0) = f''(0) dx² = 4dx².

Do đó, đáp án đúng là A.

Câu 7:

Khai triển Taylor đến cấp 2 của

f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1

với x₀ = 1 là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để khai triển Taylor đến cấp 2 của hàm số f(x) = 4x³ + 3x² - 2x + 1 tại x₀ = 1, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính giá trị của hàm và các đạo hàm tại x₀ = 1:
- f(1) = 4(1)³ + 3(1)² - 2(1) + 1 = 4 + 3 - 2 + 1 = 6
- f'(x) = 12x² + 6x - 2
- f'(1) = 12(1)² + 6(1) - 2 = 12 + 6 - 2 = 16
- f''(x) = 24x + 6
- f''(1) = 24(1) + 6 = 30

2. Công thức khai triển Taylor đến cấp 2:
f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + (f''(x₀)/2!)(x - x₀)² + o((x - x₀)²)

3. Thay các giá trị đã tính vào công thức:
f(x) = 6 + 16(x - 1) + (30/2)(x - 1)² + o((x - 1)²)
f(x) = 6 + 16(x - 1) + 15(x - 1)² + o((x - 1)²)

Vậy khai triển Taylor đến cấp 2 của hàm số f(x) tại x₀ = 1 là: 6 + 16(x - 1) + 15(x - 1)² + o((x - 1)²).

Câu 8:

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor cho các hàm số

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}

và

\sqrt{1 + 2 x^{2}}

quanh điểm x = 0.

Ta có:

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} = 1 + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + o (x^{2}) = 1 + x^{2} + o (x^{2})

\sqrt{1 + 2 x^{2}} = 1 + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + o (x^{2}) = 1 + x^{2} + o (x^{2})

Tuy nhiên, việc khai triển đến bậc

x^{2}

là chưa đủ để tính giới hạn này. Ta cần khai triển đến bậc cao hơn.

Sử dụng khai triển Taylor chính xác hơn:

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + o (x^{2})

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} = (1 + 3 x^{2})^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - 1)}{2} (3 x^{2})^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - x^{4} + o (x^{4})

\sqrt{1 + 2 x^{2}} = (1 + 2 x^{2})^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1)}{2} (2 x^{2})^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - \frac{1}{2} {(2 x^{2})}^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - \frac{1}{2} .4 x^{4} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - x^{4} + o (x^{4})

\frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}} = \frac{(1 + x^{2} - x^{4}) - (1 + x^{2} - x^{4}) + o (x^{4})}{x^{4}} = \frac{(1 + x^{2} - x^{4}) - (1 + x^{2} - 2 x^{4})}{x^{4}} + o (1) = \frac{x^{4}}{x^{4}} + o (1) = 1 + o (1)

Vậy,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}} = \frac{1}{2}

Lưu ý: Đã có sai sót trong quá trình tính toán ban đầu. Khai triển Taylor đến bậc 4 như sau:

(1+u)^{\alpha} = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2 + o(u^2)

(1+3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(3x^2) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2}(3x^2)^2 + o(x^4) = 1 + x^2 - x^4 + o(x^4)

(1+2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(2x^2) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(2x^2)^2 + o(x^4) = 1 + x^2 - \frac{1}{2} (4x^4) + o(x^4) = 1 + x^2 - 2x^4 + o(x^4)

Vậy:

Giới hạn là 1.

Câu 9:

Cho $x (t) = t^{3} + t, y (t) = t^{3} + 3 t^{2} + t$ , đạo hàm cấp 2 của y theo x tại x=0

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm đạo hàm cấp hai của y theo x, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm bậc nhất của x và y theo t:
- dx/dt = 3t^2 + 1
- dy/dt = 3t^2 + 6t + 1

2. Tìm đạo hàm bậc nhất của y theo x:
- dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (3t^2 + 6t + 1) / (3t^2 + 1)

3. Tìm đạo hàm bậc hai của y theo x:
- d^2y/dx^2 = d/dx (dy/dx) = (d/dt (dy/dx)) / (dx/dt)
- Tính d/dt (dy/dx):
- d/dt ((3t^2 + 6t + 1) / (3t^2 + 1)) = ((6t + 6)(3t^2 + 1) - (3t^2 + 6t + 1)(6t)) / (3t^2 + 1)^2 = (-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^2
- Vậy, d^2y/dx^2 = ((-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^2) / (3t^2 + 1) = (-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^3

4. Tìm giá trị của t khi x = 0:
- x(t) = t^3 + t = 0
- t(t^2 + 1) = 0
- Suy ra t = 0

5. Tính d^2y/dx^2 tại t = 0:
- d^2y/dx^2 |_(t=0) = (-18(0)^2 + 6) / (3(0)^2 + 1)^3 = 6/1 = 6

Vậy, đáp án là 6.

Câu 31:

Tìm a để hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {1 + \frac{a}{x}} \right)^3}\] có một cực đại tại x = - 2.

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 32:

Hệ số của (x – 1)² trong khai triển Taylor hàm \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\] tại x₀ = 1 đến bậc 2 là:

Lời giải: