JavaScript is required

Tìm khoảng lõm của đường cong \[f\left( x \right) = \ln x + \frac{{{x^2}}}{2}\]

A.

\[\left( {1; + \infty } \right)\]

B.

\[\left( { - 1;1} \right)\]

C.

\[\left[ { - 1;1} \right]\]

D.

\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]

Trả lời:

Đáp án đúng: A


Để tìm khoảng lõm của đường cong \(f(x) = \ln x + \frac{x^2}{2}\), ta cần tìm khoảng mà đạo hàm cấp hai \(f''(x) < 0\). Bước 1: Tìm đạo hàm cấp nhất \(f'(x)\). \[f'(x) = \frac{1}{x} + x\] Bước 2: Tìm đạo hàm cấp hai \(f''(x)\). \[f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2}\] Bước 3: Xét dấu của \(f''(x)\). \(f''(x) < 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 1}{x^2} < 0\) Vì \(x^2 > 0\) (do \(x\) thuộc tập xác định của \(\ln x\) nên \(x > 0\)), ta chỉ cần xét \(x^2 - 1 < 0\). \[x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\] Tuy nhiên, do điều kiện \(x > 0\) (từ \(\ln x\)), ta chỉ xét khoảng \((0; 1)\). Vậy, khoảng lõm của đường cong là \((0; 1)\). Trong các đáp án đã cho không có đáp án nào trùng khớp.

Câu hỏi liên quan