Tìm khoảng lõm của đường cong \[f\left( x \right) = \ln x + \frac{{{x^2}}}{2}\]
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tìm khoảng lõm của đường cong \(f(x) = \ln x + \frac{x^2}{2}\), ta cần tìm khoảng mà đạo hàm cấp hai \(f''(x) < 0\).
Bước 1: Tìm đạo hàm cấp nhất \(f'(x)\).
\[f'(x) = \frac{1}{x} + x\]
Bước 2: Tìm đạo hàm cấp hai \(f''(x)\).
\[f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2}\]
Bước 3: Xét dấu của \(f''(x)\).
\(f''(x) < 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 1}{x^2} < 0\)
Vì \(x^2 > 0\) (do \(x\) thuộc tập xác định của \(\ln x\) nên \(x > 0\)), ta chỉ cần xét \(x^2 - 1 < 0\).
\[x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\]
Tuy nhiên, do điều kiện \(x > 0\) (từ \(\ln x\)), ta chỉ xét khoảng \((0; 1)\).
Vậy, khoảng lõm của đường cong là \((0; 1)\). Trong các đáp án đã cho không có đáp án nào trùng khớp.