Cho hàm số \[y = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right|\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trả lời:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này yêu cầu xác định mệnh đề đúng về hàm số đã cho. Để làm được điều này, cần phân tích các tính chất của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của nó. Ta có: \[y = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| = \frac{1}{2} \left( \ln|1+x| - \ln|1-x| \right)\] Đạo hàm của hàm số là: \[y' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-x + 1 + x}{(1+x)(1-x)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}\] Vì vậy, đạo hàm của hàm số là \[y' = \frac{1}{1 - x^2}\] Hàm số xác định khi $x \ne \pm 1$. Nhận thấy $y' > 0$ với mọi $x \ne \pm 1$, vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Do câu hỏi không đưa ra các mệnh đề cụ thể, nên không thể xác định đáp án đúng.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 3

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 37:

Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2019\]. Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}}\].

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
\[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}}.\]
Xét:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln \left( {1 + f\left( x \right) - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2019.\]
Vậy \[I = {e^{2019}}\].

Câu 38:

Tìm miền giá trị của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {\arctan x - \frac{\pi }{4}} \]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số xác định, ta cần $\arctan x - \frac{\pi }{4} \ge 0$. Điều này tương đương với $\arctan x \ge \frac{\pi }{4}$. Vì hàm số arctan là hàm đồng biến, ta có $x \ge \tan \frac{\pi }{4} = 1$. Vậy, miền xác định của hàm số là \[\left[ {1; + \infty } \right)\]

Tuy nhiên, các đáp án đều không có dạng này. Có vẻ như đề bài hoặc các đáp án có vấn đề. Nếu đề bài là tìm tập xác định của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {\arctan x - \frac{\pi }{4}} \], thì không có đáp án nào đúng.

Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị của x sao cho $f(x)$ xác định, ta có $x \ge 1$. Các đáp án A, B, C, D đều không phải là tập giá trị của x trong trường hợp này.

Do đó, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Câu 39:

Lực nước cản con thuyền tỷ lệ với vận tốc của nó. Vận tốc ban đầu của thuyền là 1,5 m/s, vận tốc của nó sau 4 giây là 1 m/s. Thuyền đi được một quãng đường xấp xỉ bằng bao nhiêu cho đến khi dừng lại?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 40:

Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên ta loại đáp án A và D. Xét đáp án B, ta thấy $g(x) = \sqrt[3]{{ - 2{x^2} + {x^3}}} = \sqrt[3]{{{x^2}(x - 2)}}\$ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2. Vậy đáp án đúng là C.

Câu 16:

Tìm miền xác định của $f (x) = a r c \sin (\ln (x))$

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm miền xác định của hàm số

f (x) = \arcsin (\ln (x))

, ta cần xác định các điều kiện để hàm số này có nghĩa.

1. Hàm arcsin(u) có nghĩa khi và chỉ khi

- 1 \leq u \leq 1

. Trong trường hợp này,

u = \ln (x)

, vậy ta có

- 1 \leq \ln (x) \leq 1

.
2. Hàm ln(x) có nghĩa khi và chỉ khi

x > 0

.

Từ

- 1 \leq \ln (x) \leq 1

, ta có thể viết lại như sau:

e^{- 1} \leq x \leq e

Kết hợp với điều kiện

x > 0

, ta có miền xác định của hàm số là

[e^{- 1}, e]

Câu 17:

Tính khai triển Maclaurin đến cấp 4 của $\sin (2 x)$

Lời giải: