Khi khải sát tính đơn điệu của hai dãy số \[{x_n} = \sin \frac{1}{{\sqrt n }} - n,\]\[{y_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\], khẳng định nào đúng.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Dãy số $x_n = \sin \frac{1}{{\sqrt{n}}} - n$:
Ta có $\frac{1}{{\sqrt{n}}}$ là dãy giảm và $\frac{1}{{\sqrt{n}}} \to 0$ khi $n \to \infty$. Vì hàm $f(x) = \sin x$ đồng biến trên khoảng gần 0 nên $\sin \frac{1}{{\sqrt{n}}}$ là dãy giảm.
Mặt khác, $n$ là dãy tăng. Vậy $x_n = \sin \frac{1}{{\sqrt{n}}} - n$ là dãy giảm.
Dãy số $y_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)...\left(1 - \frac{1}{n}\right)$:
Ta có $y_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} ... \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}$.
Vậy $y_n = \frac{1}{n}$ là dãy giảm.
Do đó, cả hai dãy số đều là dãy giảm. Tuy nhiên, không có đáp án nào phù hợp trong các lựa chọn đã cho.