Đáp án đúng: BĐể hàm số có đạo hàm trên toàn trục số, hàm số phải liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0.
1. Tính liên tục tại x = 0:
Hàm số liên tục tại x = 0 khi:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {e^x} = {e^0} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({x^2} + ax + b) = {0^2} + a.0 + b = b\)
\(f(0) = {e^0} = 1\)
Vậy, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần b = 1.
2. Tính đạo hàm tại x = 0:
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm đó bằng nhau:
\(f'\left( {{0^ - }} \right) = f'\left( {{0^ + }} \right)\)
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0}\\{2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > 0}\end{array}} \right.\)
Suy ra:
\(f'\left( {{0^ - }} \right) = {e^0} = 1\)
\(f'\left( {{0^ + }} \right) = 2.0 + a = a\)
Vậy, để hàm số có đạo hàm tại x = 0, ta cần a = 1.
Kết luận: a = 1 và b = 1.