Đạo hàm cấp 4 của $f\left(x\right)=(x^2+2x)\cos \left(x^2+x\right)$ tại 0 là

Để tính giới hạn này, chúng ta sẽ sử dụng khai triển Taylor cho các hàm số arctan(x) và cos(x) xung quanh x = 0.

Khai triển Taylor của arctan(x) là: arctan(x) = x - x^3/3 + O(x^5)

Khai triển Taylor của cos(x) là: cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6)

Khi đó, ta có:

(cos(x))^(1/3) = (1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6))^(1/3)

Sử dụng khai triển Taylor (1+u)^a ≈ 1 + au, với u = -x^2/2 + x^4/24 + ... và a = 1/3, ta được:

(cos(x))^(1/3) ≈ 1 + (1/3)(-x^2/2 + x^4/24 + ...) = 1 - x^2/6 + O(x^4)

Thay vào biểu thức giới hạn:

lim (x→0) [1 + arctan(x) - (cos(x))^(1/3)] / x^2 = lim (x→0) [1 + x - x^3/3 + O(x^5) - (1 - x^2/6 + O(x^4))] / x^2

= lim (x→0) [x + x^2/6 - x^3/3 + O(x^4)] / x^2

Ta thấy có lỗi ở đề bài. Giả sử đề bài là: Tính . Khi đó:
arctan(x) = x - x^3/3 + o(x^3)



Vậy . Giới hạn này không tồn tại.
Nếu đề bài cho giới hạn là thì kết quả là 1.

Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Để tìm $f^{\left(10\right)}\left(0\right)$, ta sử dụng khai triển Taylor của hàm $f\left(x\right)$ tại $x=0$. Ta có: $f\left(x\right)=(x^4+1)\ln (1+x)$. Sử dụng khai triển Taylor cho $\ln (1+x)$, ta có $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+...$ Nhân vào, ta có $f\left(x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+...+x^5-\frac{x^6}{2}+\frac{x^7}{3}-\frac{x^8}{4}+\frac{x^9}{5}-\frac{x^{10}}{6}+...$. Hệ số của $x^{10}$ là $-\frac{1}{10}-\frac{1}{6}=-\frac{3}{30}-\frac{5}{30}=-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15}$. Vậy, $\frac{f^{\left(10\right)}\left(0\right)}{10!}=-\frac{4}{15}$. Suy ra $f^{\left(10\right)}\left(0\right)=-\frac{4}{15}\cdot 10!$

Để tìm a và α sao cho f(x) tương đương ax^α khi x → 0, ta cần phân tích giới hạn của f(x) khi x tiến đến 0.

f(x) = tan((x² + 1)sin(x))

Khi x → 0, sin(x) ≈ x. Do đó, (x² + 1)sin(x) ≈ (x² + 1)x = x³ + x.

Khi x → 0, x³ trở nên không đáng kể so với x. Vậy (x² + 1)sin(x) ≈ x.

Khi u → 0, tan(u) ≈ u. Do đó, tan((x² + 1)sin(x)) ≈ (x² + 1)sin(x) ≈ x.

Vậy, f(x) ≈ x khi x → 0. Điều này có nghĩa là a = 1 và α = 1.

Vậy đáp án đúng là C: a = 1, α = 1.

Ta có:

\(\sqrt{1-2x^2} = (1-2x^2)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}(-2x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)

\(\sqrt[3]{1-3x^2} = (1-3x^2)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)

Do đó:

\(f(x) = \sqrt{1-2x^2} - \sqrt[3]{1-3x^2} = (1 - x^2 + o(x^2)) - (1 - x^2 + o(x^2)) = o(x^2)\)

Vì vậy, không tồn tại \(a\) và \(\alpha\) để \(f(x)\) tương đương \(ax^{\alpha}\) khi \(x \to 0\).

Vậy, đáp án đúng là D. Các câu trên đều sai.