Tìm $f^{10}\left(0\right)$ với $f\left(x\right)=(x^4+1)\ln \left(1+x\right)$

We have:

$f\left(x\right)=\sqrt{1-\cos x}=\sqrt{2{\sin }^2\frac{x}{2}}=\sqrt{2}\left|\sin \frac{x}{2}\right|$

Consider x in the neighborhood of the point $\frac{\pi }{6}$ then $\sin \frac{x}{2}>0$ so

$f\left(x\right)=\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}$
$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{x}{2}$
$\Rightarrow f\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{3}+2}{8}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}$

So no answer is correct.

Khi x tiến đến vô cùng, tử số có dạng 2 mũ x cộng với cos(n). Ta thấy rằng 2 mũ x tiến đến vô cùng rất nhanh (hàm mũ). Cos(n) là một giá trị bị chặn trong khoảng [-1, 1]. Do đó, tử số tiến đến vô cùng.

Mẫu số là n mũ 4. Tuy nhiên, ở đây có sự nhầm lẫn về biến. Đề bài cho x tiến đến vô cùng, nhưng lại có cos(n) và n mũ 4. Nếu đây là lỗi đánh máy và phải là x mũ 4, thì ta có dạng vô định vô cùng trên vô cùng. Tuy nhiên, hàm mũ 2 mũ x tăng nhanh hơn rất nhiều so với hàm đa thức x mũ 4. Do đó, giới hạn này tiến đến vô cùng.

Nếu n là một hằng số nào đó, thì khi x tiến đến vô cùng, tử số tiến đến vô cùng, mẫu số là một hằng số. Như vậy giới hạn cũng tiến đến vô cùng.

Vậy đáp án đúng là + vô cùng.