Khai triển Taylor đến cấp 2 của

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1$ với x₀ = 1 là

$6 + 16 (x - 1) + 15 {(x - 1)}^{2} + o {(x - 1)}^{2}$

$1 - 2 x + 3 x^{2} + o (x^{2})$

$6 + 16 (x - 1) + 15 {(x - 1)}^{2} + o (x^{2})$

$1 - 2 x + 3 x^{2} + o ({(x - 1)}^{2})$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để khai triển Taylor đến cấp 2 của hàm số f(x) = 4x³ + 3x² - 2x + 1 tại x₀ = 1, ta thực hiện các bước sau: 1. **Tính giá trị của hàm và các đạo hàm tại x₀ = 1:** - f(1) = 4(1)³ + 3(1)² - 2(1) + 1 = 4 + 3 - 2 + 1 = 6 - f'(x) = 12x² + 6x - 2 - f'(1) = 12(1)² + 6(1) - 2 = 12 + 6 - 2 = 16 - f''(x) = 24x + 6 - f''(1) = 24(1) + 6 = 30 2. **Công thức khai triển Taylor đến cấp 2:** f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + (f''(x₀)/2!)(x - x₀)² + o((x - x₀)²) 3. **Thay các giá trị đã tính vào công thức:** f(x) = 6 + 16(x - 1) + (30/2)(x - 1)² + o((x - 1)²) f(x) = 6 + 16(x - 1) + 15(x - 1)² + o((x - 1)²) Vậy khai triển Taylor đến cấp 2 của hàm số f(x) tại x₀ = 1 là: 6 + 16(x - 1) + 15(x - 1)² + o((x - 1)²).

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 3

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 8:

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor cho các hàm số

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}

và

\sqrt{1 + 2 x^{2}}

quanh điểm x = 0.

Ta có:

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} = 1 + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + o (x^{2}) = 1 + x^{2} + o (x^{2})

\sqrt{1 + 2 x^{2}} = 1 + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + o (x^{2}) = 1 + x^{2} + o (x^{2})

Tuy nhiên, việc khai triển đến bậc

x^{2}

là chưa đủ để tính giới hạn này. Ta cần khai triển đến bậc cao hơn.

Sử dụng khai triển Taylor chính xác hơn:

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + o (x^{2})

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} = (1 + 3 x^{2})^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - 1)}{2} (3 x^{2})^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - x^{4} + o (x^{4})

\sqrt{1 + 2 x^{2}} = (1 + 2 x^{2})^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1)}{2} (2 x^{2})^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - \frac{1}{2} {(2 x^{2})}^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - \frac{1}{2} .4 x^{4} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - x^{4} + o (x^{4})

\frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}} = \frac{(1 + x^{2} - x^{4}) - (1 + x^{2} - x^{4}) + o (x^{4})}{x^{4}} = \frac{(1 + x^{2} - x^{4}) - (1 + x^{2} - 2 x^{4})}{x^{4}} + o (1) = \frac{x^{4}}{x^{4}} + o (1) = 1 + o (1)

Vậy,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}} = \frac{1}{2}

Lưu ý: Đã có sai sót trong quá trình tính toán ban đầu. Khai triển Taylor đến bậc 4 như sau:

(1+u)^{\alpha} = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2 + o(u^2)

(1+3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(3x^2) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2}(3x^2)^2 + o(x^4) = 1 + x^2 - x^4 + o(x^4)

(1+2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(2x^2) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(2x^2)^2 + o(x^4) = 1 + x^2 - \frac{1}{2} (4x^4) + o(x^4) = 1 + x^2 - 2x^4 + o(x^4)

Vậy:

Giới hạn là 1.

Câu 9:

Cho $x (t) = t^{3} + t, y (t) = t^{3} + 3 t^{2} + t$ , đạo hàm cấp 2 của y theo x tại x=0

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm đạo hàm cấp hai của y theo x, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm bậc nhất của x và y theo t:
- dx/dt = 3t^2 + 1
- dy/dt = 3t^2 + 6t + 1

2. Tìm đạo hàm bậc nhất của y theo x:
- dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (3t^2 + 6t + 1) / (3t^2 + 1)

3. Tìm đạo hàm bậc hai của y theo x:
- d^2y/dx^2 = d/dx (dy/dx) = (d/dt (dy/dx)) / (dx/dt)
- Tính d/dt (dy/dx):
- d/dt ((3t^2 + 6t + 1) / (3t^2 + 1)) = ((6t + 6)(3t^2 + 1) - (3t^2 + 6t + 1)(6t)) / (3t^2 + 1)^2 = (-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^2
- Vậy, d^2y/dx^2 = ((-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^2) / (3t^2 + 1) = (-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^3

4. Tìm giá trị của t khi x = 0:
- x(t) = t^3 + t = 0
- t(t^2 + 1) = 0
- Suy ra t = 0

5. Tính d^2y/dx^2 tại t = 0:
- d^2y/dx^2 |_(t=0) = (-18(0)^2 + 6) / (3(0)^2 + 1)^3 = 6/1 = 6

Vậy, đáp án là 6.

Câu 31:

Tìm a để hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {1 + \frac{a}{x}} \right)^3}\] có một cực đại tại x = - 2.

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 32:

Hệ số của (x – 1)² trong khai triển Taylor hàm \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\] tại x₀ = 1 đến bậc 2 là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm hệ số của (x – 1)² trong khai triển Taylor của hàm f(x) = ∛x tại x₀ = 1 đến bậc 2, ta cần tính đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x = 1.

Ta có:

f(x) = ∛x = x^1/3

f'(x) = (1/3)x^-2/3

f''(x) = (1/3)(-2/3)x^-5/3 = (-2/9)x^-5/3

Vậy:

f(1) = 1

f'(1) = 1/3

f''(1) = -2/9

Khai triển Taylor của f(x) tại x₀ = 1 đến bậc 2 là:

f(x) ≈ f(1) + f'(1)(x - 1) + (f''(1)/2!)(x - 1)²

f(x) ≈ 1 + (1/3)(x - 1) + (-2/9)/2 (x - 1)²

f(x) ≈ 1 + (1/3)(x - 1) - (1/9)(x - 1)²

Hệ số của (x – 1)² là -1/9.

Câu 33:

Tìm số cực trị của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét hàm số $f(x) = \sqrt[3]{x^2(x-2)} = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2}$.
Ta có $f'(x) = \dfrac{3x^2 - 4x}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x^2)^2}}$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{4}{3}$.
$f'(x)$ không xác định khi $x^3 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bảng biến thiên:

x | -$\infty$ 0 4/3 2 +$\infty$
-------|-------------------------------------------
f'(x) | + || - 0 + || +
-------|-------------------------------------------
f(x) | $\nearrow$ 0 $\searrow$ $\sqrt[3]{-\dfrac{32}{27}}$ $\nearrow$ 0 $\nearrow$ +$\infty$

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = \dfrac{4}{3}$.

Câu 34:

Tìm khoảng lõm của đường cong \[f\left( x \right) = \ln x + \frac{{{x^2}}}{2}\]

Lời giải: