Tính limx→01+3x23-1+2x2x4

Đáp án đúng: D

Để tính giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor cho các hàm số

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}

và

\sqrt{1 + 2 x^{2}}

quanh điểm x = 0. Ta có:

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} = 1 + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + o (x^{2}) = 1 + x^{2} + o (x^{2})

\sqrt{1 + 2 x^{2}} = 1 + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + o (x^{2}) = 1 + x^{2} + o (x^{2})

Tuy nhiên, việc khai triển đến bậc

x^{2}

là chưa đủ để tính giới hạn này. Ta cần khai triển đến bậc cao hơn. Sử dụng khai triển Taylor chính xác hơn:

(1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + o (x^{2})

\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} = (1 + 3 x^{2})^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - 1)}{2} (3 x^{2})^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - x^{4} + o (x^{4})

\sqrt{1 + 2 x^{2}} = (1 + 2 x^{2})^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1)}{2} (2 x^{2})^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - \frac{1}{2} {(2 x^{2})}^{2} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - \frac{1}{2} .4 x^{4} + o (x^{4}) = 1 + x^{2} - x^{4} + o (x^{4})

\frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}} = \frac{(1 + x^{2} - x^{4}) - (1 + x^{2} - x^{4}) + o (x^{4})}{x^{4}} = \frac{(1 + x^{2} - x^{4}) - (1 + x^{2} - 2 x^{4})}{x^{4}} + o (1) = \frac{x^{4}}{x^{4}} + o (1) = 1 + o (1)

Vậy,

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}} = \frac{1}{2}

Lưu ý: Đã có sai sót trong quá trình tính toán ban đầu. Khai triển Taylor đến bậc 4 như sau:

(1+u)^{\alpha} = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2 + o(u^2)

(1+3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(3x^2) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2}(3x^2)^2 + o(x^4) = 1 + x^2 - x^4 + o(x^4)

(1+2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(2x^2) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(2x^2)^2 + o(x^4) = 1 + x^2 - \frac{1}{2} (4x^4) + o(x^4) = 1 + x^2 - 2x^4 + o(x^4)

Vậy:

Giới hạn là 1.

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x^{2}} - \sqrt{1 + 2 x^{2}}}{x^{4}}$