Tìm số cực trị của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\]
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Xét hàm số $f(x) = \sqrt[3]{x^2(x-2)} = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2}$.
Ta có $f'(x) = \dfrac{3x^2 - 4x}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x^2)^2}}$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{4}{3}$.
$f'(x)$ không xác định khi $x^3 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bảng biến thiên:
x | -$\infty$ 0 4/3 2 +$\infty$
-------|-------------------------------------------
f'(x) | + || - 0 + || +
-------|-------------------------------------------
f(x) | $\nearrow$ 0 $\searrow$ $\sqrt[3]{-\dfrac{32}{27}}$ $\nearrow$ 0 $\nearrow$ +$\infty$
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = \dfrac{4}{3}$.