Tìm miền xác định của $f (x) = a r c \sin (\ln (x))$

A. $[e^{\frac{- π}{2}}, e^{\frac{π}{2}}]$

B. $(0, + \infty)$

C.(0,1]

$[e^{- 1}, e]$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Để tìm miền xác định của hàm số

f (x) = \arcsin (\ln (x))

, ta cần xác định các điều kiện để hàm số này có nghĩa. 1. Hàm arcsin(u) có nghĩa khi và chỉ khi

- 1 \leq u \leq 1

. Trong trường hợp này,

u = \ln (x)

, vậy ta có

- 1 \leq \ln (x) \leq 1

. 2. Hàm ln(x) có nghĩa khi và chỉ khi

x > 0

. Từ

- 1 \leq \ln (x) \leq 1

, ta có thể viết lại như sau:

e^{- 1} \leq x \leq e

Kết hợp với điều kiện

x > 0

, ta có miền xác định của hàm số là

[e^{- 1}, e]

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 3

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

Tính khai triển Maclaurin đến cấp 4 của $\sin (2 x)$

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Ta có khai triển Maclaurin của sin(x) là:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... + o(x^n)

Thay x bởi 2x, ta được:
sin(2x) = 2x - (2x)^3/3! + (2x)^5/5! - ... + o(x^4)
sin(2x) = 2x - 8x^3/6 + o(x^4)
sin(2x) = 2x - 4x^3/3 + o(x^4)
Vậy đáp án đúng là B.

Câu 18:

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển maclaurin của sin(sin x).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có khai triển Maclaurin của sin x là: sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...
Do đó, sin(sin x) = sin x - (sin x)^3/3! + (sin x)^5/5! - ...
= (x - x^3/3! + x^5/5! - ...) - (x - x^3/3! + x^5/5! - ...)^3/3! + (x - x^3/3! + x^5/5! - ...)^5/5! - ...
Để tìm hệ số của x^5, ta chỉ cần xét các số hạng có bậc không lớn hơn 5:
= (x - x^3/6 + x^5/120 - ...) - (x^3 - 3x^5/6 + ...)/6 + (x^5 + ...)/120 - ...
= x - x^3/6 + x^5/120 - x^3/6 + x^5/12 + x^5/120 + ...
= x - x^3/3 + (1/120 + 1/12 + 1/120)x^5 + ...
= x - x^3/3 + (1/120 + 10/120 + 1/120)x^5 + ...
= x - x^3/3 + (12/120)x^5 + ...
= x - x^3/3 + x^5/10 + ...
Vậy hệ số của x^5 trong khai triển Maclaurin của sin(sin x) là 1/10.

Câu 19:

Cặp giá trị $a,b \in \mathbb{R}$ nào sau đây thoả mãn $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{a x} - \frac{1}{b \sin x}) = 0$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để giới hạn

\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{a x} - \frac{1}{b \sin x}) = 0

tồn tại, ta cần xét điều kiện để biểu thức trong giới hạn tiến tới 0 khi x tiến tới vô cùng.

* Phân tích:

*

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a x} = 0

khi

a \neq 0

.
* Tuy nhiên,

\frac{1}{\sin x}

không có giới hạn khi

x \to \infty

vì

\sin x

dao động trong khoảng [-1, 1]. Do đó,

\frac{1}{b \sin x}

cũng không có giới hạn khi

x \to \infty

(với

b \neq 0

).

* Để biểu thức

\frac{1}{a x} - \frac{1}{b \sin x}

có giới hạn bằng 0 khi

x \to \infty

, cần có sự triệt tiêu hoặc tương đương giữa hai thành phần.
* Kiểm tra các phương án:

* A.

a = - 1, b = - 1

\lim_{x \to \infty} (- \frac{1}{x} + \frac{1}{\sin x})

. Không tồn tại giới hạn.
* B.

a = 1, b = \frac{1}{6}

\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{1}{6} \sin x}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{x} - \frac{6}{\sin x})

. Không tồn tại giới hạn.
* C.

a = \frac{1}{6}, b = 1

\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\frac{1}{6} x} - \frac{1}{\sin x}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{6}{x} - \frac{1}{\sin x})

. Không tồn tại giới hạn.
* D.

a = 0, b = 0

: Khi

a = 0

và

b = 0

, biểu thức trở thành

\frac{1}{0} - \frac{1}{0}

, không xác định.

Kết luận: Không có cặp giá trị (a, b) nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 20:

Khi khải sát tính đơn điệu của hai dãy số \[{x_n} = \sin \frac{1}{{\sqrt n }} - n,\]\[{y_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\], khẳng định nào đúng.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Dãy số $x_n = \sin \frac{1}{{\sqrt{n}}} - n$:
Ta có $\frac{1}{{\sqrt{n}}}$ là dãy giảm và $\frac{1}{{\sqrt{n}}} \to 0$ khi $n \to \infty$. Vì hàm $f(x) = \sin x$ đồng biến trên khoảng gần 0 nên $\sin \frac{1}{{\sqrt{n}}}$ là dãy giảm.
Mặt khác, $n$ là dãy tăng. Vậy $x_n = \sin \frac{1}{{\sqrt{n}}} - n$ là dãy giảm.

Dãy số $y_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)...\left(1 - \frac{1}{n}\right)$:
Ta có $y_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} ... \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}$.
Vậy $y_n = \frac{1}{n}$ là dãy giảm.

Do đó, cả hai dãy số đều là dãy giảm. Tuy nhiên, không có đáp án nào phù hợp trong các lựa chọn đã cho.

Câu 21:

Tìm miền xác định của hàm số \[y = \ln \left( {1 - {e^x}} \right)\]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số $y = \ln (1 - e^x)$ xác định, biểu thức bên trong logarit phải lớn hơn 0, tức là $1 - e^x > 0$.

Giải bất phương trình:
\[1 - e^x > 0 \Leftrightarrow e^x < 1\]
Vì $e^0 = 1$, ta có:
\[e^x < e^0\]
Vì hàm số mũ cơ số $e > 1$ là hàm đồng biến, ta suy ra:
\[x < 0\]
Vậy, miền xác định của hàm số là $(-\infty; 0)$.

Câu 22:

VCB nào sau đây là bậc 1?

Lời giải: