Tìm tất cả các giá trị của a để \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\ln \left( {a{x^2} + x + 1} \right) - x}}{{{x^2}}}} \right) = 1\]

\[a = \frac{3}{2}\]

\[a \ne 1\]

a = 1

\[a = \frac{5}{2}\]

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để giải bài toán tìm giới hạn này, ta sử dụng khai triển Taylor (Maclaurin) cho hàm ln(1+u) khi u tiến đến 0: ln(1+u) = u - u^2/2 + o(u^2). Trong bài toán này, ta có u = ax^2 + x. Như vậy: ln(ax^2 + x + 1) = ln(1 + (ax^2 + x)) = (ax^2 + x) - (ax^2 + x)^2/2 + o(x^2) = x + ax^2 - x^2/2 + o(x^2) Do đó: (ln(ax^2 + x + 1) - x) / x^2 = (x + ax^2 - x^2/2 + o(x^2) - x) / x^2 = (ax^2 - x^2/2 + o(x^2)) / x^2 = a - 1/2 + o(1) Khi x -> 0, thì o(1) -> 0. Vậy: lim (x->0) (ln(ax^2 + x + 1) - x) / x^2 = a - 1/2 Theo đề bài, giới hạn này bằng 1, suy ra: a - 1/2 = 1 a = 3/2 Vậy đáp án đúng là A: a = 3/2.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 3

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 25:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \ln \left( {\arcsin \left( {{x^3}} \right) + 2019} \right)\]. Tìm hàm ngược \[{f^{ - 1}}\] của hàm số f(x)?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm hàm ngược của hàm số f(x), ta thực hiện các bước sau:

Đặt y = f(x), tức là \[y = \ln \left( {\arcsin \left( {{x^3}} \right) + 2019} \right)\]
Đổi chỗ x và y: \[x = \ln \left( {\arcsin \left( {{y^3}} \right) + 2019} \right)\]
Giải phương trình trên để tìm y theo x:
$e^x = \arcsin(y^3) + 2019$
$\arcsin(y^3) = e^x - 2019$
$y^3 = \sin(e^x - 2019)$
$y = \sqrt[3]{\sin(e^x - 2019)}$

Vậy, hàm ngược của f(x) là \[{f^{ - 1}}(x) = \sqrt[3]{{\sin \left( {{e^x} - 2019} \right)}}\]

Do đó, đáp án đúng là A.

Câu 26:

Tìm đạo hàm \[y' = y'\left( x \right)\] của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \ln \left( {1 + {t^2}} \right)}\\{y = 2t - 2\arctan t}\end{array}} \right.\]

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm đạo hàm y' của hàm số cho bởi phương trình tham số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm của x và y theo t:
- Ta có: x = ln(1 + t²) => dx/dt = (1 / (1 + t²)) * 2t = 2t / (1 + t²)
- Và: y = 2t - 2arctan(t) => dy/dt = 2 - 2 / (1 + t²) = (2 + 2t² - 2) / (1 + t²) = 2t² / (1 + t²)

2. Tính y' = dy/dx:
- Ta có: y' = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (2t² / (1 + t²)) / (2t / (1 + t²)) = 2t² / 2t = t

Vậy đạo hàm y' = t.

Do đó, đáp án đúng là C.

Câu 27:

Tính \[{f^{\left( {2018} \right)}}\left( 2 \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right)\]?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 28:

Với giá trị nào của a, b thì hàm \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \le 0}\\{{x^2} + ax + b\,\,\,x > 0}\end{array}} \right.\] có đạo hàm trên toàn trục số?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số có đạo hàm trên toàn trục số, hàm số phải liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0.

1. Tính liên tục tại x = 0:
Hàm số liên tục tại x = 0 khi:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)$

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {e^x} = {e^0} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({x^2} + ax + b) = {0^2} + a.0 + b = b$
$f(0) = {e^0} = 1$

Vậy, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần b = 1.

2. Tính đạo hàm tại x = 0:
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm đó bằng nhau:
$f'\left( {{0^ - }} \right) = f'\left( {{0^ + }} \right)$

Ta có:
$f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0}\\{2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > 0}\end{array}} \right.$

Suy ra:
$f'\left( {{0^ - }} \right) = {e^0} = 1$
$f'\left( {{0^ + }} \right) = 2.0 + a = a$

Vậy, để hàm số có đạo hàm tại x = 0, ta cần a = 1.

Kết luận: a = 1 và b = 1.

Câu 29:

Cho \[y = \ln \left( {{e^{f\left( {2x - 1} \right)}} - 1} \right)\], tính y’:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\[y' = \frac{{\left( {{e^{f\left( {2x - 1} \right)}} - 1} \right)'}}{{{e^{f\left( {2x - 1} \right)}} - 1}} = \frac{{{e^{f\left( {2x - 1} \right)}}.f'\left( {2x - 1} \right).\left( {2x - 1} \right)'}}{{{e^{f\left( {2x - 1} \right)}} - 1}} = \frac{{2{e^{f\left( {2x - 1} \right)}}.f'\left( {2x - 1} \right)}}}{{{e^{f\left( {2x - 1} \right)}} - 1}}.\]
Vậy đáp án đúng là C.

Câu 30:

Đa thức nào sau đây xấp xỉ với hàm \[y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}cm\] trong lân cận của x₀ = 1 với sai số nhỏ nhất?

Lời giải: