Với giá trị nào của a, b thì hàm \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \le 0}\\{{x^2} + ax + b\,\,\,x > 0}\end{array}} \right.\] có đạo hàm trên toàn trục số?

Để hàm số có đạo hàm trên toàn trục số, hàm số phải liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0. 1. **Tính liên tục tại x = 0:** Hàm số liên tục tại x = 0 khi: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {e^x} = {e^0} = 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({x^2} + ax + b) = {0^2} + a.0 + b = b\) \(f(0) = {e^0} = 1\) Vậy, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần b = 1. 2. **Tính đạo hàm tại x = 0:** Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm đó bằng nhau: \(f'\left( {{0^ - }} \right) = f'\left( {{0^ + }} \right)\) Ta có: \(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0}\\{2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > 0}\end{array}} \right.\) Suy ra: \(f'\left( {{0^ - }} \right) = {e^0} = 1\) \(f'\left( {{0^ + }} \right) = 2.0 + a = a\) Vậy, để hàm số có đạo hàm tại x = 0, ta cần a = 1. Kết luận: a = 1 và b = 1.