VCB nào sau đây là bậc 1?

Để xác định VCB bậc 1, ta cần xét giới hạn của \(\frac{{\alpha(x)}}{x}\) khi \(x \to 0\). Nếu giới hạn này tồn tại và khác 0, thì \(\alpha(x)\) là VCB bậc 1. * **Phương án A:** \(\alpha_1(x) = \sin 2x - 2\sin x\) Sử dụng khai triển Taylor: \(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)\). Do đó, \(\sin 2x = 2x - \frac{8x^3}{6} + o(x^3)\). Vậy \(\sin 2x - 2\sin x = 2x - \frac{4x^3}{3} - 2(x - \frac{x^3}{6}) + o(x^3) = -x^3 + o(x^3)\). Khi đó, \(\lim_{x \to 0} \frac{\alpha_1(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^3}{x} = \lim_{x \to 0} -x^2 = 0\). Vậy \(\alpha_1(x)\) không phải VCB bậc 1. * **Phương án B:** \(\alpha_3(x) = e^{\sin x} - \cos x\) Sử dụng khai triển Taylor: \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\), \(\sin x = x + o(x)\), \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\). Do đó, \(e^{\sin x} = 1 + \sin x + \frac{\sin^2 x}{2} + o(x^2) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\). Vậy \(e^{\sin x} - \cos x = 1 + x + \frac{x^2}{2} - (1 - \frac{x^2}{2}) + o(x^2) = x + x^2 + o(x^2)\). Khi đó, \(\lim_{x \to 0} \frac{\alpha_3(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + x^2}{x} = \lim_{x \to 0} 1 + x = 1\). Vậy \(\alpha_3(x)\) là VCB bậc 1. * **Phương án C:** \(\alpha_4(x) = \sqrt{1 + 2x} - 1 - \sqrt{x}\) Sử dụng khai triển Taylor: \(\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)\). Do đó, \(\sqrt{1 + 2x} = 1 + x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)\). Vậy \(\sqrt{1 + 2x} - 1 - \sqrt{x} = 1 + x - \frac{1}{2}x^2 - 1 - \sqrt{x} + o(x^2) = x - \sqrt{x} + o(\sqrt{x})\). Khi đó, \(\lim_{x \to 0} \frac{\alpha_4(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0} 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = -\infty\). Vậy \(\alpha_4(x)\) không phải VCB bậc 1. * **Phương án D:** \(\alpha_2(x) = \arcsin(\sqrt{4 + x^2} - 2)\) Sử dụng khai triển Taylor: \(\sqrt{4 + x^2} = 2\sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} = 2(1 + \frac{1}{2}\frac{x^2}{4} + o(x^2)) = 2 + \frac{x^2}{4} + o(x^2)\). Do đó \(\sqrt{4+x^2} - 2 = \frac{x^2}{4} + o(x^2)\). Sử dụng khai triển Taylor: \(\arcsin x = x + o(x)\). Vậy \(\arcsin(\sqrt{4 + x^2} - 2) = \frac{x^2}{4} + o(x^2)\). Khi đó \(\lim_{x \to 0} \frac{\alpha_2(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{4x} = 0\). Vậy \(\alpha_2(x)\) không phải VCB bậc 1. Vậy, chỉ có phương án B là VCB bậc 1.