VCB nào sau đây có bậc bằng với bậc của \[\beta \left( x \right) = {3^{\sqrt x }} - 1\]?

Để tìm VCB có bậc tương đương với \(\beta(x) = 3^{\sqrt{x}} - 1\) khi \(x \to 0\), ta cần tìm hàm số có giới hạn tương đương khi \(x \to 0\). * Xét \(\beta(x) = 3^{\sqrt{x}} - 1\). Khi \(x \to 0\), \(\sqrt{x} \to 0\), ta có thể sử dụng khai triển Taylor: \(a^u - 1 \approx u \ln a\) khi \(u \to 0\). Do đó, \(3^{\sqrt{x}} - 1 \approx \sqrt{x} \ln 3\). * **Phương án A:** \(\alpha(x) = 1 - \cos^3 x\). Khi \(x \to 0\), ta có \(1 - \cos^3 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)\). Vì \(1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}\) và \(1 + \cos x + \cos^2 x \to 3\) khi \(x \to 0\), nên \(\alpha(x) \approx \frac{3x^2}{2}\). Bậc của \(\alpha(x)\) là 2. * **Phương án B:** \(\chi(x) = \arctan(\sqrt[3]{8 + x^4} - 2)\). Khi \(x \to 0\), \(\sqrt[3]{8 + x^4} - 2 = 2\sqrt[3]{1 + \frac{x^4}{8}} - 2 = 2\left(1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{8} + O(x^8) \right) - 2 \approx \frac{x^4}{12}\). Vì \(\arctan u \approx u\) khi \(u \to 0\), nên \(\chi(x) \approx \frac{x^4}{12}\). Bậc của \(\chi(x)\) là 4. * **Phương án C:** \(\gamma(x) = \arcsin(\sqrt{4 + x^2} - 2)\). Khi \(x \to 0\), \(\sqrt{4 + x^2} - 2 = 2\sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} - 2 = 2\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{4} + O(x^4)\right) - 2 \approx \frac{x^2}{4}\). Vì \(\arcsin u \approx u\) khi \(u \to 0\), nên \(\gamma(x) \approx \frac{x^2}{4}\). Bậc của \(\gamma(x)\) là 2. So sánh bậc của các VCB, ta thấy \(\beta(x)\) có bậc là \(\frac{1}{2}\). Không có đáp án nào trong A, B, C có bậc là \(\frac{1}{2}\). Vậy, đáp án đúng là D.