Cho $x (t) = t^{3} + t, y (t) = t^{3} + 3 t^{2} + t$ , đạo hàm cấp 2 của y theo x tại x=0

-6

-2

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Để tìm đạo hàm cấp hai của y theo x, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của x và y theo t: - dx/dt = 3t^2 + 1 - dy/dt = 3t^2 + 6t + 1 2. Tìm đạo hàm bậc nhất của y theo x: - dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (3t^2 + 6t + 1) / (3t^2 + 1) 3. Tìm đạo hàm bậc hai của y theo x: - d^2y/dx^2 = d/dx (dy/dx) = (d/dt (dy/dx)) / (dx/dt) - Tính d/dt (dy/dx): - d/dt ((3t^2 + 6t + 1) / (3t^2 + 1)) = ((6t + 6)(3t^2 + 1) - (3t^2 + 6t + 1)(6t)) / (3t^2 + 1)^2 = (-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^2 - Vậy, d^2y/dx^2 = ((-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^2) / (3t^2 + 1) = (-18t^2 + 6) / (3t^2 + 1)^3 4. Tìm giá trị của t khi x = 0: - x(t) = t^3 + t = 0 - t(t^2 + 1) = 0 - Suy ra t = 0 5. Tính d^2y/dx^2 tại t = 0: - d^2y/dx^2 |_(t=0) = (-18(0)^2 + 6) / (3(0)^2 + 1)^3 = 6/1 = 6 Vậy, đáp án là 6.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 3

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 31:

Tìm a để hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {1 + \frac{a}{x}} \right)^3}\] có một cực đại tại x = - 2.

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 32:

Hệ số của (x – 1)² trong khai triển Taylor hàm \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\] tại x₀ = 1 đến bậc 2 là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm hệ số của (x – 1)² trong khai triển Taylor của hàm f(x) = ∛x tại x₀ = 1 đến bậc 2, ta cần tính đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x = 1.

Ta có:

f(x) = ∛x = x^1/3

f'(x) = (1/3)x^-2/3

f''(x) = (1/3)(-2/3)x^-5/3 = (-2/9)x^-5/3

Vậy:

f(1) = 1

f'(1) = 1/3

f''(1) = -2/9

Khai triển Taylor của f(x) tại x₀ = 1 đến bậc 2 là:

f(x) ≈ f(1) + f'(1)(x - 1) + (f''(1)/2!)(x - 1)²

f(x) ≈ 1 + (1/3)(x - 1) + (-2/9)/2 (x - 1)²

f(x) ≈ 1 + (1/3)(x - 1) - (1/9)(x - 1)²

Hệ số của (x – 1)² là -1/9.

Câu 33:

Tìm số cực trị của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét hàm số $f(x) = \sqrt[3]{x^2(x-2)} = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2}$.
Ta có $f'(x) = \dfrac{3x^2 - 4x}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x^2)^2}}$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{4}{3}$.
$f'(x)$ không xác định khi $x^3 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bảng biến thiên:

x | -$\infty$ 0 4/3 2 +$\infty$
-------|-------------------------------------------
f'(x) | + || - 0 + || +
-------|-------------------------------------------
f(x) | $\nearrow$ 0 $\searrow$ $\sqrt[3]{-\dfrac{32}{27}}$ $\nearrow$ 0 $\nearrow$ +$\infty$

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = \dfrac{4}{3}$.

Câu 34:

Tìm khoảng lõm của đường cong \[f\left( x \right) = \ln x + \frac{{{x^2}}}{2}\]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm khoảng lõm của đường cong $f(x) = \ln x + \frac{x^2}{2}$, ta cần tìm khoảng mà đạo hàm cấp hai $f''(x) < 0$.

Bước 1: Tìm đạo hàm cấp nhất $f'(x)$.
\[f'(x) = \frac{1}{x} + x\]

Bước 2: Tìm đạo hàm cấp hai $f''(x)$.
\[f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2}\]

Bước 3: Xét dấu của $f''(x)$.
$f''(x) < 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 1}{x^2} < 0$
Vì $x^2 > 0$ (do $x$ thuộc tập xác định của $\ln x$ nên $x > 0$), ta chỉ cần xét $x^2 - 1 < 0$.
\[x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\]
Tuy nhiên, do điều kiện $x > 0$ (từ $\ln x$), ta chỉ xét khoảng $(0; 1)$.

Vậy, khoảng lõm của đường cong là $(0; 1)$. Trong các đáp án đã cho không có đáp án nào trùng khớp.

Câu 35:

Một đĩa quay đặt trong chất lỏng, tác động của ma sát làm giảm vận tốc quay tỷ lệ với vận tốc góc của đĩa. Hãy tìm sự phụ thuộc của vận tốc góc vào thời gian nếu biết rằng đĩa quay với vận tốc ban đầu là 5 vòng/giây thì sau 2 phút thì vận tốc giảm còn 3 vòng/giây. Sau bao lâu nó sẽ có vận tốc là 1 vòng/giây?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 36:

Cho hàm số \[y = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right|\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải: