Hệ số của (x – 1)2 trong khai triển Taylor hàm \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\] tại x0 = 1 đến bậc 2 là:
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Để tìm hệ số của (x – 1)2 trong khai triển Taylor của hàm f(x) = ∛x tại x0 = 1 đến bậc 2, ta cần tính đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x = 1.
Ta có:
f(x) = ∛x = x1/3
f'(x) = (1/3)x-2/3
f''(x) = (1/3)(-2/3)x-5/3 = (-2/9)x-5/3
Vậy:
f(1) = 1
f'(1) = 1/3
f''(1) = -2/9
Khai triển Taylor của f(x) tại x0 = 1 đến bậc 2 là:
f(x) ≈ f(1) + f'(1)(x - 1) + (f''(1)/2!)(x - 1)2
f(x) ≈ 1 + (1/3)(x - 1) + (-2/9)/2 (x - 1)2
f(x) ≈ 1 + (1/3)(x - 1) - (1/9)(x - 1)2
Hệ số của (x – 1)2 là -1/9.
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Xét hàm số $f(x) = \sqrt[3]{x^2(x-2)} = \sqrt[3]{x^3 - 2x^2}$.
Ta có $f'(x) = \dfrac{3x^2 - 4x}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x^2)^2}}$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{4}{3}$.
$f'(x)$ không xác định khi $x^3 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bảng biến thiên:
x | -$\infty$ 0 4/3 2 +$\infty$
-------|-------------------------------------------
f'(x) | + || - 0 + || +
-------|-------------------------------------------
f(x) | $\nearrow$ 0 $\searrow$ $\sqrt[3]{-\dfrac{32}{27}}$ $\nearrow$ 0 $\nearrow$ +$\infty$
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = \dfrac{4}{3}$.
Ta có $f'(x) = \dfrac{3x^2 - 4x}{3\sqrt[3]{(x^3 - 2x^2)^2}}$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \dfrac{4}{3}$.
$f'(x)$ không xác định khi $x^3 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bảng biến thiên:
x | -$\infty$ 0 4/3 2 +$\infty$
-------|-------------------------------------------
f'(x) | + || - 0 + || +
-------|-------------------------------------------
f(x) | $\nearrow$ 0 $\searrow$ $\sqrt[3]{-\dfrac{32}{27}}$ $\nearrow$ 0 $\nearrow$ +$\infty$
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = \dfrac{4}{3}$.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tìm khoảng lõm của đường cong \(f(x) = \ln x + \frac{x^2}{2}\), ta cần tìm khoảng mà đạo hàm cấp hai \(f''(x) < 0\).
Bước 1: Tìm đạo hàm cấp nhất \(f'(x)\).
\[f'(x) = \frac{1}{x} + x\]
Bước 2: Tìm đạo hàm cấp hai \(f''(x)\).
\[f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2}\]
Bước 3: Xét dấu của \(f''(x)\).
\(f''(x) < 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 1}{x^2} < 0\)
Vì \(x^2 > 0\) (do \(x\) thuộc tập xác định của \(\ln x\) nên \(x > 0\)), ta chỉ cần xét \(x^2 - 1 < 0\).
\[x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\]
Tuy nhiên, do điều kiện \(x > 0\) (từ \(\ln x\)), ta chỉ xét khoảng \((0; 1)\).
Vậy, khoảng lõm của đường cong là \((0; 1)\). Trong các đáp án đã cho không có đáp án nào trùng khớp.
Bước 1: Tìm đạo hàm cấp nhất \(f'(x)\).
\[f'(x) = \frac{1}{x} + x\]
Bước 2: Tìm đạo hàm cấp hai \(f''(x)\).
\[f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2}\]
Bước 3: Xét dấu của \(f''(x)\).
\(f''(x) < 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 1}{x^2} < 0\)
Vì \(x^2 > 0\) (do \(x\) thuộc tập xác định của \(\ln x\) nên \(x > 0\)), ta chỉ cần xét \(x^2 - 1 < 0\).
\[x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow x^2 < 1 \Leftrightarrow -1 < x < 1\]
Tuy nhiên, do điều kiện \(x > 0\) (từ \(\ln x\)), ta chỉ xét khoảng \((0; 1)\).
Vậy, khoảng lõm của đường cong là \((0; 1)\). Trong các đáp án đã cho không có đáp án nào trùng khớp.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Câu hỏi này yêu cầu xác định mệnh đề đúng về hàm số đã cho. Để làm được điều này, cần phân tích các tính chất của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của nó.
Ta có: \[y = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| = \frac{1}{2} \left( \ln|1+x| - \ln|1-x| \right)\]
Đạo hàm của hàm số là:
\[y' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-x + 1 + x}{(1+x)(1-x)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}\]
Vì vậy, đạo hàm của hàm số là \[y' = \frac{1}{1 - x^2}\]
Hàm số xác định khi \(x \ne \pm 1\).
Nhận thấy \(y' > 0\) với mọi \(x \ne \pm 1\), vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Do câu hỏi không đưa ra các mệnh đề cụ thể, nên không thể xác định đáp án đúng.
Ta có: \[y = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| = \frac{1}{2} \left( \ln|1+x| - \ln|1-x| \right)\]
Đạo hàm của hàm số là:
\[y' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-x + 1 + x}{(1+x)(1-x)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}\]
Vì vậy, đạo hàm của hàm số là \[y' = \frac{1}{1 - x^2}\]
Hàm số xác định khi \(x \ne \pm 1\).
Nhận thấy \(y' > 0\) với mọi \(x \ne \pm 1\), vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Do câu hỏi không đưa ra các mệnh đề cụ thể, nên không thể xác định đáp án đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có:
\[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}}.\]
Xét:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln \left( {1 + f\left( x \right) - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2019.\]
Vậy \[I = {e^{2019}}\].
\[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {e^{g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}}.\]
Xét:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\ln \left( {1 + f\left( x \right) - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 2019.\]
Vậy \[I = {e^{2019}}\].
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
