Cho \(A =\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&0&6\\ 6&1&0&3\\ 9&0&a&4\\ 5&5&2&5 \end{array}} \right|\). Biết rằng các số 2006, 6103, 5525 chia hết cho 17 và 0. Với giá trị nào của a thì detA chia hết cho 17
Đáp án đúng: C
Let's calculate the determinant of A by expanding along the third column:
\(\det(A) = a \begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 9 & 0 & 4 \end{vmatrix}\)
\(\det(A) = a[2(5) - 0 + 6(30-5)] - 2[2(4) - 0 + 6(-9)]\)
\(\det(A) = a(10+150) - 2(8-54)\)
\(\det(A) = 160a - 2(-46)\)
\(\det(A) = 160a + 92\)
We want \(\det(A)\) to be divisible by 17. Therefore, \(160a + 92 \equiv 0 \pmod{17}\).
\(160 = 17 \cdot 9 + 7\), so \(160 \equiv 7 \pmod{17}\).
\(92 = 17 \cdot 5 + 7\), so \(92 \equiv 7 \pmod{17}\).
Therefore, \(7a + 7 \equiv 0 \pmod{17}\).
\(7(a+1) \equiv 0 \pmod{17}\).
Since 7 and 17 are relatively prime, \(a+1 \equiv 0 \pmod{17}\).
\(a \equiv -1 \pmod{17}\).
\(a \equiv 16 \pmod{17}\).
However, a must be one of the numbers {2, 3, 4, 7}. Checking these options:
If a = 2, \(160(2) + 92 = 320 + 92 = 412 = 17 \cdot 24 + 4\), so \(412 \not\equiv 0 \pmod{17}\).
If a = 3, \(160(3) + 92 = 480 + 92 = 572 = 17 \cdot 33 + 11\), so \(572 \not\equiv 0 \pmod{17}\).
If a = 4, \(160(4) + 92 = 640 + 92 = 732 = 17 \cdot 43 + 1\), so \(732 \not\equiv 0 \pmod{17}\).
If a = 7, \(160(7) + 92 = 1120 + 92 = 1212 = 17 \cdot 71 + 5\), so \(1212 \not\equiv 0 \pmod{17}\).
There must be an error in the initial setup of the problem or the possible values of a.
Let's check the determinant calculation again:
\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 2(5-15) - 0 + 6(30-5) = -20 + 150 = 130\)
\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 9 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2(4-0) - 0 + 6(0-9) = 8 - 54 = -46\)
\(\det(A) = 130a - 2(-46) = 130a + 92\)
\(130 \equiv 11 \pmod{17}\), \(92 \equiv 7 \pmod{17}\)
\(11a + 7 \equiv 0 \pmod{17}\)
\(33a + 21 \equiv 0 \pmod{17}\)
\(-a + 4 \equiv 0 \pmod{17}\)
\(a \equiv 4 \pmod{17}\)
So, a = 4.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
