Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&9 \end{array}} \right),\,{D_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 6 \end{array}} \right),{D_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 9 \end{array}} \right)\). Gọi X₁, X₂ lần lượt là nghiệm của AX = D₁, AX = D₂. Khi đó, ta có X₁ - X₂ là:

Để một tập hợp con của R^3 là một không gian con, nó phải thỏa mãn hai điều kiện: 1. Chứa vector 0 (gốc tọa độ). 2. Đóng với phép cộng vector và phép nhân với một số vô hướng. Xét W1 = {(x, y, 1) / x = 2y}. Vì z luôn bằng 1, vector (0, 0, 0) không thuộc W1. Do đó, W1 không phải là không gian con của R^3. Xét W2 = {(x, y, z) / z = 2x - y}. Kiểm tra điều kiện: - Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 2(0) - 0 = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W2. - Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W2. Khi đó z1 = 2x1 - y1 và z2 = 2x2 - y2. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem z1 + z2 = 2(x1 + x2) - (y1 + y2)? Ta có z1 + z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2) = 2(x1 + x2) - (y1 + y2). Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W2. - Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W2 và c là một số vô hướng. Khi đó z = 2x - y. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cz = 2(cx) - (cy)? Ta có cz = c(2x - y) = 2(cx) - (cy). Vậy (cx, cy, cz) thuộc W2. Vậy W2 là không gian con của R^3. Xét W3 = {(x, y, z) / x + y + z = 0}. Kiểm tra điều kiện: - Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W3. - Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W3. Khi đó x1 + y1 + z1 = 0 và x2 + y2 + z2 = 0. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = 0? Ta có (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0. Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W3. - Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W3 và c là một số vô hướng. Khi đó x + y + z = 0. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cx + cy + cz = 0? Ta có cx + cy + cz = c(x + y + z) = c(0) = 0. Vậy (cx, cy, cz) thuộc W3. Vậy W3 là không gian con của R^3. Vậy W2 và W3 là không gian con của R^3.

\(\sqrt{4}\) trong trường số phức cũng tương tự như trong trường số thực. Số 4 là một số thực dương, và căn bậc hai của nó là 2 và -2. Vậy, z₁ = 2 và z₂ = -2.

Ta có (-1 + i) = \(\sqrt{2}\)(cos(3π/4) + i sin(3π/4)). Do đó, (-1 + i)^n = (\(\sqrt{2}\))^n (cos(3nπ/4) + i sin(3nπ/4)). Để (-1 + i)^n là một số thực, ta cần sin(3nπ/4) = 0. Điều này xảy ra khi 3nπ/4 = kπ, với k là một số nguyên. Suy ra 3n = 4k, hay n = (4/3)k. Vì n là một số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = 3, suy ra n = 4. Vậy, n = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để (-1 + i)^n là một số thực.

Ta có: \(z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 + \sqrt{3} + i(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\) Gọi \(\varphi\) là argument của z. Ta có: \(\tan(\varphi) = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\) Vì \(\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}\), nên \(\varphi = \frac{\pi}{12}\). Số phức \(1 + i\sqrt{3}\) có argument là \(\frac{\pi}{3}\) Số phức \(1 + i\) có argument là \(\frac{\pi}{4}\) Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}\) Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp, đáp án gần nhất là \(\frac{7\pi}{12}\) nhưng vẫn không đúng. Ta có \(1 + i \sqrt{3} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))\) \(1 + i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}))\) \(z = \frac{2}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{\pi}{12}))\) Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{12}\). Có lẽ các đáp án đã bị sai lệch.