Câu hỏi:

Cho $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x=x^2-3x+C.$ Khi đó $\displaystyle \int f\big(\mathrm{e}^{-x}\big) \mathrm{d}x$ bằng

2\mathrm{e}^{-x}-3x+C.

-2\mathrm{e}^{-x}-3\mathrm{e}^{-x}+C.

\mathrm{e}^{-2x}-3\mathrm{e}^{-x}+C.

-2\mathrm{e}^{-x}-3x+C.

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có $\int f(x) dx = x^2 - 3x + C$. Suy ra $f(x) = (x^2 - 3x + C)' = 2x - 3$.
Vậy $\int f(e^{-x}) dx = \int (2e^{-x} - 3) dx = 2 \int e^{-x} dx - 3 \int dx = -2e^{-x} - 3x + C$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 3: Nguyên hàm của hàm số mũ; hàm số lượng giác

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 18:

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{x}-2$ trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ , biết $F\left(0 \right)=-1$ . Khi đó $F(x)$ là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: $\int (e^x - 2) dx = e^x - 2x + C$. Vì $F(0) = -1$ nên $e^0 - 2(0) + C = -1 \Rightarrow 1 + C = -1 \Rightarrow C = -2$. Vậy $F(x) = e^x - 2x - 2$.

Câu 19:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \Big( \cos \dfrac{x}{2} \Big)^2$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: $f(x) = \Big( \cos \dfrac{x}{2} \Big)^2 = \dfrac{1 + \cos x}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x$.

Vậy, nguyên hàm của $f(x)$ là:

$\int f(x) dx = \int \Big( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x \Big) dx = \dfrac{1}{2} \int dx + \dfrac{1}{2} \int \cos x dx = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\sin x + C$.

Câu 20:

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x.\cos x$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có thể giải bài này bằng hai cách:

Cách 1: Sử dụng công thức lượng giác: $\sin x . \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$. Khi đó, $\int \frac{1}{2} \sin 2x dx = -\frac{1}{4} \cos 2x + C$.
Cách 2: Đặt $u = \sin x$ hoặc $u = \cos x$. Ví dụ, nếu $u = \sin x$ thì $du = \cos x dx$. Khi đó, $\int \sin x \cos x dx = \int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\sin^2 x}{2} + C$. Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Ta biến đổi $\frac{\sin^2 x}{2} + C = \frac{1 - \cos 2x}{4} + C = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{4} + C = -\frac{\cos 2x}{4} + C'$ (với $C' = \frac{1}{4} + C$).

Vậy đáp án đúng là $\int f(x)\mathrm{d}x=-\dfrac{\cos 2x}{4}+C$.

Câu 1:

Cho hàm số $y = f(x)$ thoả mãn $\displaystyle \displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x=\mathrm{e}^{2x}+C$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $\displaystyle \int f(x) dx = e^{2x} + C$.
Lấy đạo hàm hai vế theo $x$, ta được:
$\dfrac{d}{dx} \left( \int f(x) dx \right) = \dfrac{d}{dx} (e^{2x} + C)$
$f(x) = 2e^{2x}$

Câu 2:

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có họ tất cả các nguyên hàm là $F(x)=\dfrac{a^x}{\ln a}+C,$ ( $a>0, \, a\ne 1, \, C$ là hằng số)?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức nguyên hàm: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
Vậy hàm số cần tìm là $f(x) = a^x$.

Câu 3:

Hàm số $F(x)=\mathrm{e}^{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số

Lời giải: